디리클레 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''디리클레 함수'''({{llang|en|Dirichlet function}})는 [[실수]] 집합 위에 정의된 [[유리수]] [[지시 함수]]이다.

== 정의 ==
'''디리클레 함수''' <math>1_\mathbb Q\colon\mathbb R\to\{0,1\}</math>는 다음과 같다.
:<math>1_\mathbb Q(x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=\begin{cases}
1 & x\in\mathbb Q \\
0 & x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q
\end{cases}</math>
여기서 <math>m!</math>는 [[계승 (수학)|계승]], <math>\cos</math>는 [[코사인]], <math>\mathbb Q</math>와 <math>\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>는 각각 [[유리수]]와 [[무리수]]의 집합이다. 위 정의에 따라, 디리클레 함수 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 [[베르 2급 함수]]이다.<ref>{{서적 인용
  | language = en
  | last = Dunham
  | first = William
  | title = The Calculus Gallery
  | url = https://archive.org/details/calculusgallerym0000dunh_d6g7
  | publisher = Princeton University Press
  | date = 2005
  | pages = [https://archive.org/details/calculusgallerym0000dunh_d6g7/page/n216 197]
  | isbn = 0-691-09565-5
}}</ref> 두 가지 정의가 같음은 다음과 같이 보일 수 있다.
{{증명}}
만약 <math>x\in\mathbb Q</math>라면, <math>\textstyle x=\frac ab</math>인 <math>a,b\in\mathbb Z</math>를 취할 수 있다. 그렇다면, 임의의 <math>m\ge b</math>에 대하여, <math>m!x\in\mathbb Z</math>이므로, <math>\cos(m!\pi x)\in\{-1,1\}</math>이다. 따라서,
:<math>\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}1=1</math>
이다.

만약 <math>x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>라면, 임의의 <math>m\ge 0</math>에 대하여 <math>m!x\notin\mathbb Z</math>이므로, <math>\cos(m!\pi x)\in(-1,1)</math>이다. 따라서,
:<math>\lim_{m\to\infty}\lim_{n\to\infty}\cos^{2n}(m!\pi x)=\lim_{m\to\infty}0=0</math>
이다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
=== 주기성 ===
디리클레 함수 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 모든 [[유리수]]를 주기로 갖는 [[주기 함수]]이며, 이에 따라 최소 양의 주기가 없다.
{{증명}}
임의의 <math>t\in\mathbb Q</math> 및 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>1_{\mathbb Q}(x+t)=1_{\mathbb Q}(x)</math>임을 보이면 된다. 만약 <math>x\in\mathbb Q</math>라면, <math>x+t\in\mathbb Q</math>이므로,
:<math>1_{\mathbb Q}(x+t)=1=1_{\mathbb Q}(x)</math>
이다. 만약 <math>x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>라면, <math>x+t\in\mathbb R\setminus\mathbb Q</math>이므로,
:<math>1_{\mathbb Q}(x+t)=0=1_{\mathbb Q}(x)</math>
이다.

이제, [[귀류법]]을 사용하여, <math>t_0\in\mathbb Q^+</math>가 <math>1_{\mathbb Q}</math>의 양의 최소 주기라고 가정하자. 그렇다면, <math>\textstyle\frac{t_0}2\in\mathbb Q^+</math> 역시 <math>1_{\mathbb Q}</math>의 양의 주기이며, <math>\textstyle\frac{t_0}2<t_0</math>이다. 이는 <math>t_0</math>이 최소 양의 주기인 것과 모순이다.
{{증명 끝}}

=== 연속성 ===
디리클레 함수 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 모든 점에서 [[연속 함수|불연속]]이다. 이는 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여,
:<math>\limsup_{y\to x}1_{\mathbb Q}(y)=1</math>
:<math>\liminf_{y\to x}1_{\mathbb Q}(y)=0</math>
이기 때문이다.
{{증명}}
임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>x</math>로 수렴하는 [[유리수]] 수열 <math>(x_n)_{n=0}^\infty</math>과 [[무리수]] 수열 <math>(y_n)_{n=0}^\infty</math>을 취할 수 있다. 그렇다면
:<math>1=\lim_{n\to\infty}1_{\mathbb Q}(x_n)\le\limsup_{y\to x}1_{\mathbb Q}(y)\le\sup_{y\in\mathbb R}1_{\mathbb Q}(y)=1</math>
:<math>0=\inf_{y\in\mathbb R}1_{\mathbb Q}(y)\le\liminf_{y\to x}1_{\mathbb Q}(y)\le\lim_{n\to\infty}1_{\mathbb Q}(y_n)=0</math>
이다.
{{증명 끝}}

=== 적분 ===
디리클레 함수 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 모든 점에서 [[연속 함수|불연속]]이므로, 임의의 닫힌구간 위에서 [[리만 적분]] 불가능이다. 구체적으로, 그 [[상적분]]과 [[하적분]]은 각각 다음과 같다.
:<math>\overline{\int_a^b}1_{\mathbb Q}(x)dx=b-a</math>
:<math>\underline{\int_a^b}1_{\mathbb Q}(x)dx=0</math>
그러나 디리클레 함수는 [[단순 함수]]이므로, [[르베그 적분]] 가능하며, 그 [[르베그 적분]]은
:<math>\int_{\mathbb R}1_{\mathbb Q}d\mu=0</math>
이다.
{{증명}}
임의의 닫힌구간 <math>[a,b]</math> 및 임의의 분할
:<math>P=\{x_0,x_1,\dots,x_n\}\qquad(a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b)</math>
에 대하여, 각 소구간 <math>[x_{i-1},x_i]</math>은 [[유리수]]와 [[무리수]]를 원소로 포함하므로,
:<math>\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}1_{\mathbb Q}(x)=1</math>
:<math>\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}1_{\mathbb Q}(x)=0</math>
이다. 따라서 <math>P</math>에 대한 [[리만 상합]]과 [[리만 하합]]은
:<math>U(1_{\mathbb Q},P)=\sum_{i=1}^n\sup_{x\in[x_{i-1},x_i]}1_{\mathbb Q}(x)\cdot(x_i-x_{i-1})=b-a</math>
:<math>L(1_{\mathbb Q},P)=\sum_{i=1}^n\inf_{x\in[x_{i-1},x_i]}1_{\mathbb Q}(x)\cdot(x_i-x_{i-1})=0</math>
이며, 그 [[상적분]]과 [[하적분]]은
:<math>\overline{\int_a^b}1_{\mathbb Q}(x)dx=\inf_PU(1_{\mathbb Q},P)=\inf_P(b-a)=b-a</math>
:<math>\underline{\int_a^b}1_{\mathbb Q}(x)dx=\sup_PL(1_{\mathbb Q},P)=\sup_P0=0</math>
이다.

[[유리수]]의 집합 <math>\mathbb Q</math>는 [[가산 집합]]이므로, [[실수선]] <math>\mathbb R</math> 위의 [[보렐 집합]]이며, 특히 [[르베그 가측 집합]]이다. 따라서 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 [[단순 함수]]이며, 특히 [[가측 함수]]이다. 그 [[르베그 적분]]은
:<math>\int_{\mathbb R}1_{\mathbb Q}d\mu=\mu(\mathbb Q)=0</math>
이다. 이에 따라 <math>1_{\mathbb Q}</math>는 [[르베그 적분]] 가능하다.
{{증명 끝}}

== 역사 ==
[[독일]]의 수학자 [[페터 구스타프 르죈 디리클레]]가 1829년에 제시하였다.<ref>Lejeune Dirichlet, P. G. (1829) "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à répresenter une fonction arbitraire entre des limites donées" [주어진 극한 사이의 임의의 함수의 표현에 쓰이는 삼각급수의 수렴성에 대하여], ''Journal für reine und angewandte Mathematik'' [순수·응용 수학 잡지, 크렐레지라고도 불린다.], vol. 4, pages 157 - 169.</ref>

== 같이 보기 ==
* [[토메 함수]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Dirichlet-function}}
* {{매스월드|id=DirichletFunction|제목=Dirichlet function}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:실해석학]]