디리클레 지표 문서 원본 보기

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[[수론]]에서 '''디리클레 지표'''(Dirichlet指標, {{llang|en|Dirichlet character}})는 [[수론적 함수]]의 하나다. [[디리클레 L-함수]]를 정의하는 데 사용된다.

== 정의 ==
군 <math>(\mathbb Z/k\mathbb Z)^*</math>는 <math>k</math>에 대하여 [[서로소]]인 <math>k</math> [[합동류]]들의 [[아벨 군]]이다. <math>\mathbb C^*=\mathbb C\setminus\{0\}</math>는 0이 아닌 [[복소수]]들의 곱셈에 대한 [[아벨 군]]이다. 이들 사이에 [[군 준동형]]
:<math>\chi\colon(\mathbb Z/k\mathbb Z)^*\to\mathbb C^*</math>
이 주어졌다고 하자. 이러한 꼴의 군 준동형을 [[군 표현의 지표|지표]]라고 한다. 이러한 지표 <math>\chi</math>를 [[수론적 함수]] <math>\hat\chi\colon\mathbb Z\to\mathbb C</math>로 확장시킬 수 있다. 이 경우, <math>k</math>에 대하여 서로소가 아닌 합동류에 속하는 정수들에 대하여 <math>\hat\chi</math>의 값을 0으로 놓는다. 이렇게 하여 얻는 함수 <math>\hat\chi</math>를 '''디리클레 지표'''라고 한다.

이렇게 정의한 함수 <math>\hat\chi</math>는 다음과 같은 성질을 갖는다.
# (주기성) <math>\hat\chi(n)=\hat\chi(n+k)</math>
# (서로소) <math>n</math>과 <math>k</math>가 [[서로소]]임은 <math>\hat\chi(n)\ne0</math>과 동치이다.
# (승법성) 모든 정수 <math>m,n\in\mathbb Z/k\mathbb Z</math>에 대하여, <math>\hat\chi(mn)=\hat\chi(m)\hat\chi(n)</math>
이 세 조건을 만족하는 함수는 항상 디리클레 지표임을 보일 수 있다.

== 디리클레 L-함수 ==
모든 디리클레 지표 <math>\chi</math>에 대하여, 이에 대응하는 [[L-함수]]를 정의할 수 있다. 이를 '''디리클레 L-함수'''라고 하며, 다음과 같다.
:<math>L(s,\chi)=\sum_{n=1}^\infty\chi(n)/n^s</math>

== 역사 ==
[[페터 구스타프 르죈 디리클레]]가 [[디리클레 등차수열 정리]]를 증명하기 위하여 1831년에 도입하였다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=Harold|성=Davenport | title=Multiplicative Number Theory |publisher=Springer |year=2000 |isbn=978-0-387-95097-6|series=Graduate Texts in Mathematics|volume=74|edition=3판|url=https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-95097-6 | 언어=en}}
* {{서적 인용| last=Fröhlich | first=Albrecht | 공저자=Martin J. Taylor | title=Algebraic number theory | series=Cambridge studies in advanced mathematics | volume=27 | publisher=Cambridge University Press | year=1991 | isbn=0-521-36664-X | zbl=0744.11001|doi=10.1017/CBO9781139172165 |언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:수론]]
[[분류:특수 함수]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]