디리클레 에타 함수 문서 원본 보기

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[[수학]]의 [[해석적 수론]] 영역에서 '''디리클레 에타 함수'''({{llang|en|Dirichlet eta function}})는 실수 부분이 <math>0 </math>보다 큰 복소수에 수렴하는 다음의 [[디리클레 급수]]로 정의된다.

:<math>\eta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n-1} \over n^s} = \frac{1}{1^s} - \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} - \frac{1}{4^s} + \cdots</math>

이러한 디리클레 급수는 [[리만 제타 함수]] <math>\zeta(s)</math> 의 디리클레 급수 확장에 해당하는 번갈아 나타나는 합이 된다.이 때문에 디리클레 에타 함수는 교번 제타 함수라고도 하며 <math>\zeta^*</math> 로도 표기한다.

다음의 관계가 성립한다.

:<math>\eta(s) = \left(1-2^{1-s}\right) \zeta(s)</math>

에타 함수에 대한 디리클레 급수 확장은 실수가 <math> 0</math>보다 큰 임의의 복소수에 대해서만 수렴되지만 임의의 복소수에 대해서도 [[닐스 헨리크 아벨|아벨]] 가산이 가능하다. 이것은 에타 함수를 전체 함수로 정의하는 역할을 한다.

그리고 위의 관계에서 <math>\left( 1-2^{1-s} \right)</math>영역으로부터 제타 함수가<math> s = 1</math>에서 단순한 극으로 변형되고, <math>0</math>의 극점을 나타낸다는 것을 보여준다.

동일하게,

:<math>\eta(s) = \frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x+1}{dx}</math> <math>\qquad, \Gamma(s)</math> [[감마 함수]]

또한 양의 실수 부분은 [[멜린 변환]] (Mellin transform) 으로서 <math>\eta</math> 함수를 제공한다.

[[고드프리 해럴드 하디|하디]]는 에타 함수에 대한 함수 방정식의 중요한 증명을 제시했다.

:<math>\eta(-s) = 2 \frac{1-2^{-s-1}}{1-2^{-s}} \pi^{-s-1} s \sin\left({\pi s \over 2}\right) \Gamma(s)\eta(s+1)</math>

이로부터 <math>\zeta</math> 함수의 함수 방정식을 즉시 가질 수 있을 뿐만 아니라 <math>\eta</math>의 정의를 전체 복소 평면상으로 확장하는 또 다른 수단을 얻을 수 있게 한다.

== 같이 보기 ==
* [[디리클레 베타 함수]]
<!-- *[[디리클레 제타 함수]] -->
* [[디리클레 람다 함수]]
* [[L-함수]]

[[분류:특수 함수]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]