디리클레 등차수열 정리 문서 원본 보기

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[[수론]]에서 '''디리클레 등차수열 정리'''(Dirichlet等差數列定理, {{llang|en|Dirichlet’s theorem on arithmetic progressions}})는 첫 수와 항들의 차가 [[서로소 정수|서로소]]인 등차수열에 무한히 많은 [[소수 (수론)|소수]]들이 포함되어 있다는 정리다.

== 정의 ==
<math>a_0</math>와 <math>b</math>가 [[서로소 정수|서로소]]인 양의 정수라고 하자. '''디리클레 등차수열 정리'''에 따르면, [[등차수열]]
:<math>(a_n)_{n=0}^\infty=(a_0+nb)_{n=0}^\infty=(a_0,a_0+b,a_0+2b,\dots)</math>
에는 무한히 많은 [[소수 (수론)|소수]]가 포함되어 있다. 즉, 무한히 많은 소수들을
:<math>a_0+nb</math>
의 꼴로 나타낼 수 있다. 또한, 이 수열에 포함된 [[소수 (수론)|소수]]들의 역수들의 합은 발산한다.
:<math>\sum_{a_0+nb\text{ prime}}1/(a_0+nb)=\infty</math>

== 예 ==
대표적인 등차수열에 포함된 소수들은 다음과 같다.
{| class = "wikitable"
|+
! 등차수열 !! 포함된 소수 !! [[OEIS]] 수열
|-
|2''n'' + 1 || 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … || {{OEIS|id=A065091}}
|-
|4''n'' + 1 || 5, 13, 17, 29, 37, 41, 53, 61, 73, 89, … || {{OEIS|id=A002144}}
|-
|4''n'' + 3 || 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, … || {{OEIS|id=A002145}}
|-
|6''n'' + 1 || 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, … || {{OEIS |id=A002476}}
|-
|6''n'' + 5 || 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, … || {{OEIS |id=A007528}}
|-
|8''n'' + 1 || 17, 41, 73, 89, 97, 113, 137, 193, 233, 241, … || {{OEIS |id=A007519}}
|-
|8''n'' + 3 || 3, 11, 19, 43, 59, 67, 83, 107, 131, 139, … || {{OEIS |id=A007520}}
|-
|8''n'' + 5 || 5, 13, 29, 37, 53, 61, 101, 109, 149, 157, … || {{OEIS |id=A007521}}
|-
|8''n'' + 7 || 7, 23, 31, 47, 71, 79, 103, 127, 151, 167, … || {{OEIS |id=A007522}}
|-
|10''n'' + 1 || 11, 31, 41, 61, 71, 101, 131, 151, 181, 191, … || {{OEIS |id=A030430}}
|-
|10''n'' + 3 || 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, 103, 113, 163, … || {{OEIS |id=A030431}}
|-
|10''n'' + 7 || 7, 17, 37, 47, 67, 97, 107, 127, 137, 157, … || {{OEIS |id=A030432}}
|-
|10''n'' + 9 || 19, 29, 59, 79, 89, 109, 139, 149, 179, 199, … || {{OEIS |id=A030433}}
|-
|12''n'' + 1 || 13, 37, 61, 73, 97, 109, 157, 181, 193, 229, … ||  {{OEIS |id=A068228}}
|-
|12''n'' + 5 || 5, 17, 29, 41, 53, 89, 101, 113, 137, 149, … || {{OEIS |id=A040117}}
|-
|12''n'' + 7 || 7, 19, 31, 43, 67, 79, 103, 127, 139, 151, … || {{OEIS |id=A068229}}
|-
|12''n'' + 11 || 11, 23, 47, 59, 71, 83, 107, 131, 167, 179, … || {{OEIS |id=A068231}}
|}

== 역사 ==
[[레온하르트 오일러]]는 1로 시작하는 모든 등차수열에 대하여 이 정리를 추측하였고, [[아드리앵마리 르장드르]]가 이 추측을 임의의 등차수열로 일반화하였다.

[[페터 구스타프 르죈 디리클레]]가 1837년 이 정리를 증명하였다.<ref>{{저널 인용
| last=Dirichlet
| first=P. G. L.
| authorlink=페터 구스타프 르죈 디리클레
| title=Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält
| journal=Abhand. Ak. Wiss. Berlin
| volume=48
| year=1837
| 언어=de
}}</ref><ref>{{저널 인용| 이름=Peter Gustav Lejeune|성=Dirichlet|저자링크=페터 구스타프 르죈 디리클레|arxiv=0808.1408|bibcode=2008arXiv0808.1408L
|제목=There are infinitely many prime numbers in all arithmetic progressions with first term and difference coprime|언어=en}} (디리클레 논문 영어 번역)</ref> 이를 증명하기 위하여 디리클레는 수론에 해석학적인 기법을 도입하였다. 이는 [[해석적 수론]]의 시초로 여겨진다.

1946년에 [[아틀레 셀베르그]]가 초등적인 증명을 발표하였다.<ref>{{저널 인용|doi=10.2307/1969454|authorlink=아틀레 셀베르그 |first=Atle |last=Selberg  |title=An elementary proof of Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic progression|url=https://archive.org/details/sim_annals-of-mathematics_1949-04_50_2/page/n52|jstor=1969454|journal=Annals of Mathematics|volume=50|issue=2|year=1949|pages=297–304}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[그린-타오 정리]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|title=Dirichlet's Theorem|id=DirichletsTheorem}}
* {{웹 인용|이름=Chris|성=Caldwell|url=http://primes.utm.edu/notes/Dirichlet.html|제목=Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions|웹사이트=Prime Pages|언어=en}}
* {{수학노트|title=등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리}}

[[분류:소수에 관한 정리]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]