디랙 장 문서 원본 보기

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'''디랙 장'''({{llang|en|Dirac field}})은 [[양자장론]]에서 [[스핀 (물리학)|스핀]] 1/2 [[페르미온|페르미 입자]]를 설명하는 [[스피너장|스피너 장]]이다. 상대론적 양자역학에서 [[디랙 방정식]]에 따른 장으로 [[폴 디랙]]에 의해 도입되었다.

디랙 장 {{수학|''&psi;''(''x'')}} 는 미소 [[로런츠 변환]]하에서

: <math>i[M_{\mu\nu},\psi_a(x)] = x_\mu\partial_\nu\psi_a -x_\nu\partial_\mu\psi_a + i(S_{\mu\nu})_a{}^b\, \psi_b</math>

라고 변환된다. 스핀 행렬 {{수학 변수|S}} 는 [[디랙 행렬|감마 행렬]]에 의해

: <math>S_{\mu\nu} = \frac{i}{4}(\gamma_\mu\gamma_\nu-\gamma_\nu\gamma_\mu)</math>

라고 표현된다. 디랙 장은 감마 행렬의 행렬 성분과 같은 첨자를 가지며, 4차원 시공에서는 4성분의 장이다. 디랙 표시나 손지기 표시등 감마 행렬의 표시에 의해 겉보기 성분은 변화한다.

== 자유장 ==
상호작용을 하지 않는 자유 디랙 장은 [[디랙 방정식]]

: <math>i\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\psi = 0</math>

에 따른다. {{수학 변수|m}} 은 디랙 장을 양자화한 입자의 질량으로 해석된다. 디랙 방정식을 유도하는 [[라그랑지언]]은

: <math>\mathcal{L}(\psi,\partial\psi) = i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m\bar\psi\psi</math>

이다. 여기서 {{수학|{{overline|''&psi;''}}}} 는 {{수학 변수|&psi;}} 의 디랙 공액이다.

== 카이랄리티 ==
4차원 시공간에서 감마 행렬로

: <math>\gamma_5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3</math>

로 정의된 행렬 {{수학|''&gamma;''{{sub|5}}}} 는

: <math>(\gamma_5)^\dagger = \gamma_5,~(\gamma_5)^2 = 1,~\{ \gamma^\mu,\gamma_5 \} = 0</math>

라는 성질을 가진다. {{수학|''&gamma;''{{sub|5}}}} 는 [[카이랄리티]]라고 불린다. {{수학|''&gamma;''{{sub|5}}}} 는 [[고윳값과 고유 벡터|고유치]] {{수학|&plusmn;1}} 을 갖고, 고유치 {{수학|+1}} 의 부분공간은 왼손형성분(left-handed, LH), {{수학|&minus;1}} 의 부분공간은 오른손성분(right-handed, RH)이라고 한다. [[사영작용소|사영]][[사영작용소|연산자]]를

: <math>P_L \equiv \frac{1-\gamma_5}{2},~P_R \equiv \frac{1+\gamma_5}{2}</math>

에 의해 정의되면,

: <math>\psi_L = P_L\psi</math> ,
: <math>\psi_R = P_R\psi</math>

로서 왼손형, 오른손형 성분으로 분해할 수 있다. 정의로부터 명백한 것과 같이, 왼손형 성분과 오른손형 성분을 더하면 원래 스피너가 된다:

: <math>\psi_L + \psi_R = \psi</math>

또한 감마 행렬을 걸면 카이랄리티가 바뀐다.

: <math>\gamma_5(\gamma^\mu\psi_L)=+\gamma^\mu\psi_L,~\gamma_5(\gamma^\mu\psi_R)=-\gamma^\mu\psi_R</math>

== 바일 스피너 ==
바일 표시에서는 카이랄리티가

: <math>\gamma_5 = \begin{pmatrix}
 -\mathbf{1} & \mathbf{0} \\
 \mathbf{0} & \mathbf{1} \\
\end{pmatrix}
</math>

이 된다. 즉, 스피너 상2성분이 왼손형 성분, 하2성분이 오른손형 성분이 된다. 디랙 스피너를 카이랄리티로 나눈 2성분 스피너를 바일 스피너라고 부른다.

: <math>\psi = \begin{pmatrix}
 \xi \\
 \bar\eta \\
\end{pmatrix}
</math> .

여기서 {{수학 변수|&psi;}} 는 디랙 스피너（4성분）、{{수학 변수|&xi;}}, {{수학 변수|&eta;}} 는 바일 스피너（2성분）。

디랙  방정식을 바일 스피너로 쓰면,

: <math>i\frac{\partial\bar\eta}{\partial t}
 +i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\bar\eta -m\xi=0</math>
: <math>i\frac{\partial\xi}{\partial t}
 -i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\xi -m\bar\eta=0</math>

가 된다. 질량이 0일 때

: <math>i\frac{\partial\xi}{\partial t}
 =i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\xi</math>
: <math>i\frac{\partial\bar{\eta}}{\partial t}
 =-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\bar{\eta}</math>

가 되어 이것은 [[바일 방정식]]이라고 불린다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=ゲージ場の量子論Ⅰ|성=九後汰一郎|연도=1989|총서=新物理学シリーズ|출판사=[[培風館]]|isbn=978-4-563-02423-9|ref=kugo}}{{서적 인용|제목=ゲージ場の量子論Ⅰ|성=九後汰一郎|연도=1989|총서=新物理学シリーズ|출판사=[[培風館]]|isbn=978-4-563-02423-9|ref=kugo}}
* {{서적 인용|제목=場の量子論|성=坂井典佑|연도=2002|총서=裳華房フィジックスライブラリー|출판사=[[裳華房]]|isbn=4-7853-2212-8|ref=sakai}}{{서적 인용|제목=場の量子論|성=坂井典佑|연도=2002|총서=裳華房フィジックスライブラリー|출판사=[[裳華房]]|isbn=4-7853-2212-8|ref=sakai}}
* {{서적 인용|제목=現代的な視点からの場の量子論 基礎編|성=V.P.ナイア|출판사=[[丸善雄松堂|丸善]]|기타=阿部泰裕, 磯暁 訳|isbn=978-4-621-06172-5|ref=nair}}{{서적 인용|제목=現代的な視点からの場の量子論 基礎編|성=V.P.ナイア|출판사=[[丸善雄松堂|丸善]]|기타=阿部泰裕, 磯暁 訳|isbn=978-4-621-06172-5|ref=nair}}
* {{서적 인용|제목=An Introduction to Quantum Field Theory|url=https://archive.org/details/introductiontoqu0000pesk|성=M.E.Peskin, D.V.Schroeder|연도=1995|출판사=Westview Perss|isbn=978-0-201-50397-5|ref=peskin}}{{서적 인용|제목=An Introduction to Quantum Field Theory|url=https://archive.org/details/introductiontoqu0000pesk|성=M.E.Peskin, D.V.Schroeder|연도=1995|출판사=Westview Perss|isbn=978-0-201-50397-5|ref=peskin}}

[[분류:양자장론]]