디니 정리 문서 원본 보기

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[[미적분학]]에서, '''디니 정리'''({{lang|en|Dini's theorem}})는 [[콤팩트 공간]] 위에 정의된 [[실수 값 함수|실수 값]] [[연속 함수]]들의 [[단조수열]]이 연속 함수로 [[점별 수렴]]한다면, [[균등 수렴]]한다는 정리이다.

== 정의 ==
<math>K</math>에서 정의된 실함수열 <math>\{f_n(x)\}</math>이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

* <math>K</math>는 <math>\mathbb{R}</math>의 [[콤팩트 공간|컴팩트]] 부분집합이다. (즉, [[하이네-보렐 정리]]에 의해 <math>K</math>는 [[유계 집합|유계]]인 [[닫힌집합]]이다.)
* <math>\{f_n(x)\}</math>은 [[단조함수|단조]](즉, [[증가 수열|증가]]거나 [[단조함수|감소]])인 [[연속 함수|연속함수열]]이다. (i.e., <math>\forall x \in K , \forall n\in\mathbb{N}, f_n(x)\leq f_{n+1}(x)</math> <math>\lor</math> <math>f_n(x)\geq f_{n+1}(x)</math>)
* <math>f_n</math>이 <math>K</math>에서 연속인 [[극한함수|(극한)함수]] <math>f:K\rightarrow\mathbb{R}</math>로 [[점별수렴|점별 수렴]]한다. (i.e, <math>\exists</math> continuous function <math>f:K\rightarrow\mathbb{R}</math> such that <math>f_n \rightarrow f</math> on <math>K</math>)

그렇다면, <math>\{f_n(x)\}</math>이 <math>K</math>에서 <math>f</math>로 균등 수렴한다. 즉,

<math display="inline">f_n\rightrightarrows f</math> on <math>K</math>

이다.

== 증명 ==
[[일반성을 잃지 않고]], <math>\{f_n(x)\}</math>이 [[증가 수열|증가]]하는 [[연속 함수|연속함수열]]이라 하자. (만약 <math>\{f_n(x)\}</math>이 감소하는 연속함수열이라면 함수의 부호를 바꿔서 생각하면 된다.)
함수 <math>g_n:K\rightarrow\mathbb{R}</math>을 <math>g_n=f-f_n</math>이라 정의하자. 조건에 의해 <math>f</math>와 <math>f_n</math>는 [[연속함수]]이므로 <math>g_n</math>도 [[연속함수]]이다.



먼저, [[집합]] <math>\mathcal{O}_n</math>을 <math>\mathcal{O}_n=\left \{ x \in K : g_n(x)<\epsilon \right \}</math>이라 정의하자. 집합 <math>\mathcal{O}_n</math>의 정의에 의해 <math>\mathcal{O}_n=g^{-1}(-\infty,\epsilon)</math>임을 알 수 있다.
또한 <math>(-\infty,\epsilon)</math>는 <math>\mathbb{R}</math>에서 [[열린집합]]이고 <math>g_n</math>이 [[연속함수]]이므로  <math>(-\infty,\epsilon)</math>의 [[역상 (수학)|역상]] <math>\mathcal{O}_n=g^{-1}(-\infty,\epsilon)</math>은 <math>K</math>에서 [[열린집합]]이다.


이제 <math>K\subseteq \bigcup_{i \in\mathbb{N} } \mathcal{O}_i</math>임을 보이기 위해 <math>x \in K</math>라 하자.
조건에 의해 <math>f_n</math>이 <math>K</math>에서 연속인 [[극한함수]] <math>f:K\rightarrow\mathbb{R}</math>로 [[점별수렴|점별 수렴]]하므로, <math>f_n(x) \rightarrow f(x)</math>이다.
따라서, <math>n\geq N</math>일 때 <math>\left\vert f_n(x)-f(x)\right\vert < \epsilon</math>이 되도록 하는 [[양의 정수]] <math>N</math>이 존재한다.
<math>g_n</math>과 <math>\mathcal{O}_n</math>의 정의에 의해 <math>x \in</math> <math>\mathcal{O}_N</math>임을 알 수 있으므로 <math>x \in</math> <math>\bigcup_{i \in\mathbb{N} } \mathcal{O}_i</math>이 성립한다.



따라서, [[집합족]] <math>\mathcal{C}</math>를 <math>\mathcal{C}=\left \{ \mathcal{O}_n :n \in \mathbb{N} \right \}</math>이라 정의하면 <math>\mathcal{C}</math>는 <math>K</math>의 [[열린 덮개|열린덮개]]가 된다.
<math>K</math>는 조건에 의해 [[콤팩트 공간|콤팩트]]이므로 <math>\mathcal{C}</math>의 [[유한집합|유한]] [[열린집합|열린]] [[덮개 (위상수학)|부분 덮개]] <math>\mathcal{C'}=\left \{ \mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2,\cdots , \mathcal{O}_m \right \}</math>이 존재하여 <math>K\subseteq \bigcup_{i=1}^m \mathcal{O}_i</math>이다. 특히 임의의 [[양의 정수]] <math>n</math>에 대해 <math>\mathcal{O}_n\subseteq K</math>이므로, <math> \bigcup_{i=1}^m \mathcal{O}_i \subseteq K</math>이다. 따라서, <math>K= \bigcup_{i=1}^m \mathcal{O}_i</math>이다.
또한 <math>\mathcal{O}_n</math><math>\subseteq\mathcal{O}_{n+1}</math>임을 알 수 있으므로, [[양의 정수]] <math>M=\mathrm {max}\left \{ \mathcal{O}_1, \mathcal{O}_2,\cdots , \mathcal{O}_m \right \}</math>에 대하여 <math>K= \mathcal{O}_M</math>이다.


이제, 본격적으로 증명을 마무리하면 다음과 같다.
임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여 <math>n\geq M</math>이고 <math>x \in K</math>라고 하자.
그러면 <math>x \in K=\mathcal{O}_M \subseteq \mathcal{O}_n</math>이므로 <math>f(x)-f_n(x)<\epsilon</math>이다.
또한 가정에 의해 <math>\{f_n(x)\}</math>이 [[증가 수열|증가]]하는 [[연속 함수|연속함수열]]이므로, <math>0 \leq f(x)-f_n(x)<\epsilon</math> 임을 알 수 있다.
따라서 <math>\left\vert f_n(x)-f(x) \right\vert < \epsilon</math>이다. 즉, <math>\{f_n(x)\}</math>이 <math>K</math>에서 <math>f</math>로 [[균등 수렴]]한다.<ref>{{서적 인용|제목=Introduction to real analysis|성=Bartle|이름=Robert G.|성2=Sherbert|이름2=Donald R.|날짜=2010|판=4ed|출판사=Wiley|위치=New York Weinheim|쪽=252|장=Chapter 8 SEQUENCE OF FUNCTIONS / Section 8.2. Interchange of Limits|isbn=978-0-471-43331-6}}</ref>

== 각주 ==
[[분류:실해석학 정리]]