디감마 함수 문서 원본 보기

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'''디감마 함수'''(Digamma function)는 폴리감마 함수중 첫번째 함수이다.
:<math>\psi_0(z)</math> 또는 <math>\psi^{(0)}(z)</math>으로도 표기한다.

[[감마함수#함수 방정식|감마 함수의 미분]]은 다음과 같이 폴리감마 함수(polygamma function) <math>\psi_{n}(z)</math>로 주어진다.
:<math>  {{\psi_{n}(z)}} = {d^{n+1}\over{d z^{n+1}} }\ln \Gamma(z) </math>
:<math> \;\; = {d^{n}\over{d z^{n}} } {{\Gamma'(z)}\over{\Gamma(z)}} </math>
:<math> \;\; = {d^{n}\over{d z^{n}} }  \psi_0(z)</math>

== 디감마 함수(Digamma function) ==
디감마 함수는 감마 함수의 미분으로 정의된다.
: <math>\psi_{n}(z)</math>에서 <math>n=0</math>
디감마 함수는 폴리감마 함수중 첫번째 함수로 주어진다.

:<math>  {{\psi_{0}(z)}}  </math>
:<math> = {{\psi_{}(z)}}  </math>

== 트리감마 함수(Trigamma function) ==
: <math>\psi_{n}(z)</math>
: <math>n=1</math>
:<math>  {{\psi_{1}(z)}}  </math>

== 감마 함수 미분의 [[급수 (수학)|급수]] 표현과 디감마 함수 ==
:<math> \psi_0(z) =</math>
:<math>\sum_{k=0}^{\infty}{{(-1)^k}\over{zk+1}}= {{\phi(-1,1,z^{-1})}\over{z}}</math>
:<math> \quad = {1\over{2z}}\left( \psi_0\left( {{z+1}\over{2z}}\right)- \psi_0\left( {{1}\over{2z}}\right)    \right)</math>

:<math>\phi(a,b,c)</math> 레르크 초월자(Lerch transcendent 또는 레르크 제타 함수)
<!-- :<math>\phi(z,s,q)</math> 레르크 초월자(Lerch transcendent 또는 레르크 제타 함수 또는 럴츠 제타 함수)
:<math>\phi(a,b,c)</math> 레르크(럴츠) 초월자(Lerch transcendent 또는 레르크(럴츠) 제타 함수)
 -->
그리고,
:<math>n=integer,</math>
:<math> \psi_0(n) = -\gamma +\sum_{k=1}^{n-1}{{1}\over{k}}</math>
:<math> \quad = -\gamma + H_{n-1}</math>

<!-- :<math> \psi_0(n+{1\over2}) = -\gamma -2 \ln 2 +2 \sum_{k=1}^{n}{{1}\over{2k-1}}</math>
:<math> \quad = -\gamma + H_{{{n-1}\over{2}}}</math>  -->
:[[오일러-마스케로니 상수]]<math>\; \gamma \;\;, \;\; H_{n}</math> [[조화급수#조화수(Harmonic number)|조화수(Harmonic number)]]

== 같이 보기 ==
* [[감마함수]]
* [[폴리감마 함수]]

[[분류:특수 함수]]
[[분류:감마 함수 및 관련 함수]]