등급 다양체 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''등급 다양체'''(等級多樣體, {{llang|en|graded manifold}})는 국소 자유 등급 가환 대수의 [[층 (수학)|층]]을 갖춘 [[매끄러운 다양체]]이다.

== 정의 ==
'''등급 다양체'''는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* <math>M</math> 위의 자연수 [[등급 대수]]의 [[층 (수학)|층]] <math>\mathcal A</math>. 이는 국소적으로 다음과 같은 꼴이어야 한다.
*: <math>\mathcal A(U) = \mathcal C^\infty(U) \otimes \operatorname{Sym}(V)\qquad(U\subseteq M)</math>
여기서 <math>V</math>는 어떤 양의 정수 [[등급 벡터 공간]]이며,
:<math>\operatorname{Sym}(V)=\mathbb R \oplus V \oplus \operatorname{Sym}^2(V_{2\mathbb N}) \oplus \bigwedge^2(V_{2\mathbb N+1}) \oplus \dotsb</math>
는 이로부터 생성되는 [[자유 대수|자유]] [[등급 가환 대수]]이다.

일부 문헌에서 이는 '''N-다양체'''({{llang|en|N-manifold}})와 같은 이름으로 불리기도 한다.

등급 다양체의 범주를 <math>\operatorname{grDiff}</math>라고 표기하자.

== 성질 ==
다음과 같은 망각 함자들이 존재한다.
:<math>\operatorname{grDiff} \to \operatorname{superDiff} \to \operatorname{Diff}</math>
::[[초다양체]]의 범주 <math>\operatorname{superDiff}</math>로 가는 망각 함자. 이는 <math>\mathbb N</math> 등급을 <math>\mathbb Z/(2)</math> 등급으로 잊은 것이다.
:<math>\operatorname{grDiff} \to \operatorname{grVect}_{\mathbb Z^+} \to \operatorname{Vect} \to \operatorname{Diff}</math>
::양의 정수 등급의 [[매끄러운 벡터 다발]]의 범주 <math>\operatorname{Vect}_{\mathbb Z^+}</math>로 가는 망각 함자. 이는 오직 등급 1의 성분만을 기억하는 것이다.
이 망각 함자 <math>\operatorname{grDiff} \to \operatorname{grVect}_{\mathbb Z^+}</math>는 [[왼쪽 수반 함자]]를 갖는다. 이 왼쪽 수반 함자는 등급 벡터 다발에 대하여, 이로부터 생성되는 자유 등급 가환 대수를 구조층으로 갖는 등급 다양체를 대응시킨다.

== 같이 보기 ==
* [[세르-스완 정리]]
* [[초다양체]]
* [[초대칭]]
== 참고 문헌 ==
* {{저널 인용|이름=Dmitry |성=Roytenberg|제목= AKSZ-BV formalism and Courant algebroid-induced topological field theories |저널=Letters in Mathematical Physics|권=79|쪽=143–159|날짜=2007 |arxiv=hep-th/0608150}}
* {{저널 인용|이름=Noriaki|성= Ikeda|제목= Lectures on AKSZ Topological Field Theories for Physicists |arxiv=1204.3714 |날짜=2012| 언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=graded manifold|title=Graded manifold}}
* {{nlab|id=differential graded manifold|title=Differential graded manifold}}
* {{nlab|id=NQ-supermanifold}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:초대칭]]