등급 가군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[환론]]에서 '''등급 가군'''(等級加群, {{llang|en|graded module}})은 등급이 붙어, [[등급환]]이 (왼쪽 또는 오른쪽에서) 작용할 수 있는 [[가군]]이다.

== 정의 ==
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[모노이드]] <math>(I,\cdot,1)</math>
* <math>I</math>-[[등급환]] <math>\textstyle R=\bigoplus_{i\in I}R_i</math>
그렇다면, <math>R</math> 위의 '''왼쪽 등급 가군'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[아벨 군]]의 족 <math>(M_i)_{i\in I}</math>. 또한, <math>\textstyle M=\bigoplus_{i\in I}M_i</math>로 표기하자.
* <Math>M</math> 위의 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] 구조 <math>R\otimes_{\mathbb Z}M\to M</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>R_iM_j\subseteq M_{ij}\qquad\forall i,j\in I</math>
마찬가지로, <math>R</math> 위의 '''오른쪽 등급 가군'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* [[아벨 군]]의 족 <math>(M_i)_{i\in I}</math>. 또한, <math>\textstyle M=\bigoplus_{i\in I}M_i</math>로 표기하자.
* <math>M</math> 위의 <math>R</math>-[[오른쪽 가군]] 구조 <math>M\otimes_{\mathbb Z}R\to M</math>
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>M_iR_j\subseteq M_{ij}\qquad\forall i,j\in I</math>

만약 <math>R_1</math>이 [[체 (수학)|체]]일 때, <math>R</math>-등급 가군은 (<math>R_0</math>-[[벡터 공간]]이므로) 보통 <math>R</math>-'''등급 벡터 공간'''(等級vector空間, {{llang|en|graded vector space}})이라고 부른다.

=== 등급 가군 준동형 ===
두 <math>R</math>-왼쪽 등급 가군 <math>M</math>, <math>N</math> 사이의 '''준동형''' <math>f\colon M\to N</math>은 다음 조건을 만족시키는 <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] 준동형이다.
:<math>f(M_i)\subseteq N_i\qquad\forall i\in I</math>
두 <math>R</math>-오른쪽 등급 가군 사이의 '''준동형''' 역시 마찬가지로 정의된다.

== 연산 ==
=== 직합 ===
<math>I</math>-[[등급환]] <math>R</math> 위의 왼쪽 등급 가군들의 족 <math>(M^a)^{a\in A}</math>이 주어졌을 때, 이들의 '''[[직합]]'''
:<math>M=\bigoplus_{a\in A}M^a</math>
:<math>M_i=\bigoplus_{a\in A}M_i^a\qquad\forall i\in I</math>
역시 <math>R</math>-왼쪽 등급 가군을 이룬다.

오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.

=== 텐서곱 ===
<math>I</math>-[[등급환]] <math>R</math> 위의 두 왼쪽 등급 가군 <math>M</math>, <math>N</math>이 주어졌을 때, 그 '''[[텐서곱]]'''
:<math>(M\otimes N)_i=\bigoplus_{j,k\in I\colon jk=i}M_iN_j</math>
을 정의할 수 있다. 이 역시 <math>R</math>-왼쪽 등급 가군을 이룬다.

오른쪽 등급 가군의 경우도 마찬가지이다.

=== 뒤틂 ===
<math>I</math>-[[등급환]] <math>R</math> 위의 왼쪽 등급 가군 <math>M</math> 및 <math>i_0\in I</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>M</math>의 <math>i_0</math>-'''뒤틂'''({{llang|en|twist}}) <math>M(i_0)</math>은 다음과 같다.
:<math>M(i_0)_i=M_{ii_0}</math>

마찬가지로, <math>I</math>-[[등급환]] <math>R</math> 위의 오른쪽 등급 가군 <math>M</math> 및 <math>i_0\in I</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>M</math>의 <math>i_0</math>-'''뒤틂'''({{llang|en|twist}}) <math>M(i_0)</math>은 다음과 같다.
:<math>M(i_0)_i=M_{i_0i}</math>

=== 힐베르트-푸앵카레 급수 ===
{{본문|힐베르트 다항식}}
<math>\mathbb N</math>-[[등급환]] <math>R</math> 위의 왼쪽 등급 가군 <math>M</math>의 '''힐베르트-푸앵카레 급수'''({{llang|en|Hilbert–Poincaré series}})는 (만약 존재한다면) 다음과 같다.
:<math>p_M(t)=\sum_{i\in\mathbb N}\ell_{R_0}(M_i)t^i\in\mathbb Z[[t]]</math>
여기서
* <math>\ell_{R_0}(-)</math>는 (<math>R_0</math>-[[왼쪽 가군]]으로서의) [[가군의 길이|길이]]이다. 만약 이것이 무한하다면 힐베르트-푸앵카레 급수는 존재하지 않는다.
* <math>\mathbb Z[[t]]</math>는 정수 계수 1변수 [[형식적 멱급수환]]이다.

== 예 ==
체 <math>K</math>에 자명한 <math>\mathbb Z/2</math>-등급을 부여하였을 때, <math>K</math>-등급 가군
:<math>V=V_0\oplus V_1</math>
은 <math>K</math>-'''초벡터 공간'''({{llang|en|super-vector space}})이라고 한다.

정수환 <math>\mathbb Z</math>에 자명한 등급을 부여하였을 때, 그 위의 등급 가군은 '''등급 아벨 군'''({{llang|en|graded Abelian group}})이라고 한다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|이름=C.|성=Nastasescu|이름2=F.|성2=Van Oystaeyen|제목=Methods of graded rings|출판사=Springer-Verlag|날짜=2004|isbn=978-3-540-20746-7|doi=10.1007/b94904|총서=Lecture Notes in Mathematics|권=1836|issn=0075-8434|언어=en}}
*{{서적 인용|이름=C.|성=Nastasescu|이름2=F.|성2=Van Oystaeyen|제목=Graded ring theory|출판사=North-Holland|날짜=1982|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Graded module}}
* {{nlab|id=graded vector space|title=Graded vector space}}
* {{nlab|id=graded abelian group|title=Graded abelian group}}

{{전거 통제}}

[[분류:가군론]]