등각 켤레점 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Isogonal Conjugate.svg|섬네일|등각 켤레점]]
[[파일:Isogonal Conjugate transform.svg|섬네일|등각 켤레점을 취하는 변환]]
[[기하학]]에서 '''등각 켤레점'''(等角-點, {{llang|en|isogonal conjugate point}})은 주어진 점과 주어진 삼각형의 각 꼭짓점을 잇는 직선을 삼각형의 각 [[내각 이등분선]]에 대하여 [[반사 (기하학)|반사]]시켜 얻는 직선들의 교점이다.

== 정의 ==
삼각형 <math>ABC</math>의 한 꼭짓점 <math>A</math> (또는 <math>B</math> 또는 <math>C</math>)를 지나는 직선의 '''등각 켤레선'''(等角-線, {{llang|en|isogonal (conjugate) line}})은 그 직선을 내각 <math>\angle A</math> (또는 <math>\angle B</math> 또는 <math>\angle C</math>)의 이등분선에 대하여 [[반사 (기하학)|반사]]시켜 얻는 직선이다. 등각 켤레선의 등각 켤레선은 자기 자신이므로, 두 직선이 서로 등각 켤레선이라고 하기도 한다. 즉, 삼각형 <math>ABC</math>의 한 꼭짓점 <math>A</math>를 지나는 등각 켤레선은 다음 두 조건을 만족시키는 두 직선 <math>AP</math>와 <math>AQ</math>를 뜻한다.
* 둘 다 삼각형의 내부를 지나거나, 둘 다 삼각형의 내부를 지나지 않는다.
* <math>\angle PAB=\angle QAC</math> (즉, <math>\angle PAC=\angle QAB</math>)

삼각형 <math>ABC</math> 및 같은 평면 위의 점 <math>P</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면 세 직선 <math>AP</math>, <math>BP</math>, <math>CP</math>의 등각 켤레선은 한 점 <math>P'</math>에서 만난다. 이 점을 삼각형 <math>ABC</math>에 대한 점 <math>P</math>의 '''등각 켤레점'''이라고 한다. 등각 켤레점의 등각 켤레점은 자기 자신이므로, 두 점 <math>P</math>와 <math>P'</math>이 서로 등각 켤레점이라고 하기도 한다.
{{증명}}
AP, BP, CP와 BC, CA, AB의 교점을 D, E, F라 하고, AP, BP, CP를 각각 각 A, B, C에 대해 [[각대칭]]시킨 세 직선과 BC, CA, AB의 교점을 D', E' F'이라 하자. 삼각형 ABC와 점 P에 대해 [[각체바 정리]]를 쓰면,
:<math>\frac{sin\angle{BAD}}{sin\angle{CAD}}*\frac{sin\angle{CBE}}{sin\angle{ABE}}*\frac{sin\angle{ACF}}{sin\angle{BCF}}=1</math>
AD, BE, CF와 AD', BE', CF'은 각대칭이므로 다음이 성립한다.
:<math>\frac{sin\angle{CAD'}}{sin\angle{BAD'}}*\frac{sin\angle{ABE'}}{sin\angle{CBE'}}*\frac{sin\angle{BCF'}}{sin\angle{ACF'}}=1</math>
따라서 [[각체바 정리]]의 역에 의해 AD', BE', CF'은 한 점 Q에서 만난다.
{{증명 끝}}

== 성질 ==
삼각형 <math>ABC</math>에 대한 등각 켤레점 <math>P</math>와 <math>P'</math>이 주어졌다고 하자. 점 <math>P</math>를 삼각형의 각 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>에 반사시켜 얻는 점을 <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>라고 하자. 그렇다면 삼각형 <math>XYZ</math>의 외심은 <math>P'</math>이다.

등각 켤레점의 [[수족 삼각형]]의 [[외접원]]은 일치하며, 그 중심은 두 등각 켤레점의 중점이다. 즉, 삼각형 <math>ABC</math> 및 등각 켤레점 <math>P</math>와 <math>P'</math>가 주어졌다고 하자. 점 <math>P</math>에서 세 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>에 내린 수선의 발을 각각 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하고, 점 <math>P'</math>에서 세 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>에 내린 수선의 발을 각각 <math>D'</math>, <math>E'</math>, <math>F'</math>라고 하자. 그렇다면 두 수족 삼각형의 6개의 꼭짓점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>, <math>D'</math>, <math>E'</math>, <math>F'</math>은 <math>P</math>와 <math>P'</math>의 중점 <math>M</math>을 중심으로 하는 [[원 (기하학)|원]] 위의 점이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|67, §7.4, (viii)}}
{{증명}}
대칭성에 따라 <math>F'</math>, <math>F</math>, <math>E</math>, <math>E'</math>이 <math>M</math>을 중심으로 하는 원 위의 점임을 증명하는 것으로 충분하다. 직선 <math>AP</math>와 <math>E'F'</math>의 교점을 <math>Q</math>라고 하자. <math>A</math>, <math>E'</math>, <math>P'</math>, <math>F'</math>은 한 원 위의 점이므로
:<math>\angle F'AQ=\angle E'AP'=\angle E'F'P'</math>
이다. 따라서 직선 <math>AQ</math>는 <math>E'F'</math>의 수선이며, 삼각형 <math>AFP</math>와 <math>AQF'</math>, 삼각형 <math>AEP</math>와 <math>AQE'</math>은 닮음이다. 따라서
:<math>AF\cdot AF'=AP\cdot AQ=AE\cdot AE'</math>
이며, [[방멱]]의 성질에 따라 <math>F'</math>, <math>F</math>, <math>E</math>, <math>E'</math>은 한 원 위의 점이다. <math>M</math>은 선분 <math>PP'</math>의 중점이며 직선 <math>PF</math>와 <math>P'F'</math>, 직선 <math>PE</math>와 <math>P'E'</math>은 평행하므로 <math>M</math>은 선분 <math>FF'</math>과 <math>EE'</math>의 수직 이등분선의 교점이다. 즉, <math>M</math>은 네 점 <math>F'</math>, <math>F</math>, <math>E</math>, <math>E'</math>을 지나는 원의 중심이다.
{{증명 끝}}

=== 드로츠파르니 원 ===
삼각형 <math>ABC</math> 및 등각 켤레점 <math>P</math>와 <math>P'</math>가 주어졌다고 하자. 점 <math>P</math>를 지나는 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 수선의 발을 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>라고 하고, 점 <math>P'</math>을 지나는 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 수선의 발을 <math>D'</math>, <math>E'</math>, <math>F'</math>라고 하자. 점 <math>D</math>, <math>E</math>, <math>F</math>를 중심으로 하고 점 <math>P'</math>을 지나는 원이 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>와 각각 두 점 <math>U</math>와 <math>V</math>, <math>W</math>과 <math>X</math>, <math>Y</math>과 <math>Z</math>에서 만난다고 하자. 마찬가지로 점 <math>D'</math>, <math>E'</math>, <math>F'</math>를 중심으로 하고 점 <math>P</math>을 지나는 원이 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>와 각각 두 점 <math>U'</math>와 <math>V'</math>, <math>W'</math>과 <math>X'</math>, <math>Y'</math>과 <math>Z'</math>에서 만난다고 하자. 그렇다면 6개의 점 <math>U</math>, <math>V</math>, <math>W</math>, <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math>는 점 <math>P</math>를 중심으로 하는 한 원 위의 점이며, 다른 6개의 점 <math>U'</math>, <math>V'</math>, <math>W'</math>, <math>X'</math>, <math>Y'</math>, <math>Z'</math>은 점 <math>P'</math>을 중심으로 하는 한 원 위의 점이다. 또한 이 두 원의 반지름은 같다. 이 두 원을 등각 켤레점 <math>P</math>와 <math>P'</math>의 '''드로츠파르니 원'''({{llang|en|Droz-Farny circles}})이라고 한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|71, §7.4, (ix)}}
{{증명}}
점 <math>P</math>와 <math>P'</math>의 중점을 <math>M</math>이라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.
:<math>\begin{align}PU^2
& = PD^2+DU^2 \\
& = PD^2+{DP'}^2 \\
& = (PM^2+DM^2-2PM\cdot DM\cdot\cos\angle PMD)+(P'M^2+DM^2-2\cdot P'M\cdot DM\cdot\cos\angle P'MD) \\
& = \frac 12{PP'}^2+2DM^2
\end{align}</math>
첫째 등호는 [[피타고라스 정리]], 둘째 등호는 점 <math>U</math>의 정의, 셋째 등호는 [[코사인 법칙]]에 따른다. <math>DM</math>은 점 <math>P</math>와 <math>P'</math>의 수족 삼각형의 공통 외접원의 반지름이므로, 점 <math>P</math>와 <math>P'</math>에만 의존한다. 따라서 <math>PU</math>는 점 <math>P</math>와 <math>P'</math>에만 의존하며, <math>U</math>를 남은 5개의 점 가운데 하나로 대체하여도 결과는 같다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
다음과 같은 두 점의 쌍들은 등각 켤레점이다.
* [[외심]]과 [[수심 (기하학)|수심]]<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|71, §7.4, (ix)}}
* [[내심]]과 자기 자신
* [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]과 [[대칭 중점]]<ref name="Honsberger" />{{rp|57, §7.3}}

== 같이 보기 ==
* [[삼각형의 중심]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=IsogonalConjugate|제목=Isogonal conjugate}}
* {{매스월드|id=IsogonalLine|제목=Isogonal line}}
* {{매스월드|id=IsogonalTransform|제목=Isogonal transform|성=van Lamoen|이름=Floor}}
* {{매스월드|id=Droz-FarnyCircles|제목=Droz-Farny circles}}
* {{매스월드|id=FirstDroz-FarnyCircle|제목=First Droz-Farny circle}}
* {{매스월드|id=SecondDroz-FarnyCircle|제목=Second Droz-Farny circle}}

[[분류:삼각 기하학]]