등각 대칭 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{양자장론}}
[[양자장론]]에서 '''등각 대칭'''(等角對稱, {{llang|en|conformal symmetry}})은 [[양자장론]]이 가질 수 있는 대칭의 하나이다.<ref name="DiFrancesco">{{서적 인용|제목=Conformal field theory|이름=Philippe|성=Di Francesco|공저자=Pierre Mathieu, David Sénéchal|출판사=Springer|위치=New York|연도=1997|isbn=0-387-94785-X|url=http://www.physique.usherbrooke.ca/pages/senechal/cft|언어=en|access-date=2014-05-07|archive-date=2015-04-02|archive-url=https://web.archive.org/web/20150402132241/http://www.physique.usherbrooke.ca/pages/senechal/cft|url-status=}}</ref> 대략, 이 대칭을 가진 이론은 특별한 길이 눈금을 갖지 않고, 모든 길이 눈금이 동등하다. 등각 대칭을 갖는 [[양자장론]]을 '''[[등각 장론]]'''이라 한다.

== 정의 ==
''d''차원 [[민코프스키 공간]]의 '''등각 대칭군'''은 <math>\operatorname{SO}(d,2)</math>이다. 이는 [[푸앵카레 군]] <math>\operatorname{ISO}(d-1,1)</math>을 [[부분군]]으로 포함한다.

<math>\mu,\nu,\dots\in\{1,2,\dots,d\}</math>라고 할 때, 등각 대칭군의 생성원들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 기호 !! 이름 !! 성분 수 !! 등각 차원
|-
| <math>M_{\mu\nu}</math> || 회전 및 [[로런츠 변환]] || <math>d(d-1)/2</math> || 0
|-
| <math>P_\mu</math> || [[병진 변환]] || <math>d</math> || +1
|-
|  <math>D</math> || 확대 변환 || 1 || 0
|-
| <math>K_\mu</math> || 특수 등각 변환({{llang|en|special conformal transformation}}) ||  <math>d</math> || &minus;1
|}
이 가운데 <math>M</math>만 남기면 [[로런츠 군]], <math>M</math>과 <math>P</math>만 남기면 [[푸앵카레 군]]이 된다.

등각 대칭군의 [[리 대수]]는 다음과 같다.<ref name="DiFrancesco"/>{{rp|(4.19)}}
:<math>[D,K^\mu]=-iK^\mu</math>
:<math>[D,P_\mu]=iP_\mu</math>
:<math>[K_\mu,P_\nu]=2i(\eta_{\mu\nu}D-M_{\mu\nu})</math>
:<math>[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_\rho - \eta_{\mu \rho} K_\nu)</math>
:<math>[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu)</math>
:<math>[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})</math>
여기서 <math>\eta_{\mu\nu}</math>는 민코프스키 [[계량 텐서]]이다. 나머지 리 괄호들은 모두 0이다.

방사 양자화({{llang|en|radial quantization}}) 아래, 등각 대칭 생성원의 에르미트 수반은 다음과 같다. ([[등각 장론]]에 대하여 통상적으로 쓰이는 방사 양자화에서의 에르미트 수반은 일반 양자장론에 쓰이는 양자화에서의 에르미트 수반과 다르다.)
:<math>D^\dagger=-D</math>
:<math>(P_\mu)^\dagger=K^\mu</math>
:<math>(M_{\mu\nu})^\dagger=M^{\mu\nu}</math>

등각 대칭군이 <math>\operatorname{SO}(d,2)</math>임을 보이기 위해서, 다음을 정의하자.
:<math>M_{-1,0}=D</math>
:<math>M_{-1,\mu}=\frac12(P_\mu-K_\mu)</math>
:<math>M_{0,\mu}=\frac12(P_\mu+K_\mu)</math>
그렇다면, 지표 <math>M,N\in\{-1,0,1,\dots,d\}</math>에 대하여 <math>M_{M,N}</math>은 <math>\operatorname{SO}(d,2)</math>의 표준적인 생성원을 이룬다.
:<math>[M_{MN},M_{PQ}]=i(\eta_{MQ}J_{NP}+\eta_{NP}J_{AQ}-\eta_{MP}M_{NQ}-\eta_{NQ}J_{MP})</math>
:<math>(M_{MN})^\dagger=M^{MN}</math>
여기서
:<math>\eta_{-1,-1}=-1</math>
:<math>\eta_{0,0}=1</math>
이다.

== 표현 ==
등각 대칭은 스칼라장에 대하여 다음과 같이 표현된다.<ref name="DiFrancesco"/>{{rp|98, (4.18)}}
:<math>M_{\mu\nu} \equiv i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu)</math>
:<math>P_\mu \equiv-i\partial_\mu</math>
:<math>D\equiv-ix_\mu\partial^\mu</math>
:<math>K_\mu \equiv i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu)</math>
4차원의 경우, 등각 대칭군 <math>\operatorname{SO}(4,2)\sim\operatorname{SU}(2,2)</math>의 모든 양 에너지 유니터리 표현들이 분류되었다.<ref>{{저널 인용|제목=All unitary ray representations of the conformal group SU(2,2) with positive energy|이름=G.|성=Mack|저널=Communications in Mathematical Physics|권=55|호=1|날짜=1977|쪽=1–96|mr=0447493|zbl=0352.22012|url=
http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103900926|doi=10.1007/BF01613145|bibcode=1977CMaPh..55....1M|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Irreducible unitary representations of SU(2, 2)|이름=A.W.|성=Knapp|공저자=B. Speh|저널=Journal of Functional Analysis|권=45|호=1|날짜=1982-01|쪽=41–73|doi=10.1016/0022-1236(82)90004-0|zbl=0543.22011|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[등각 사상]]
* [[공형군]]
* [[콜먼-맨듈라 정리]]
* [[재규격화군]]
* [[초등각 장론]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Introduction to conformal field theory with applications to string theory|이름=Ralph|성=Blumenhagen|공저자=Erik Plauschinn|isbn=978-3-642-00449-0|doi=10.1007/978-3-642-00450-6|연도=2009|출판사=Springer-Verlag|위치=[[베를린|Berlin]], [[하이델베르크|Heidelberg]]|bibcode=2009LNP...779.....B|언어=en|mr=2848105 }}

[[분류:등각 장론]]