등각 다양체 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''등각 다양체'''(登角多樣體, {{llang|en|conformal manifold}})는 [[리만 계량]]의 (스칼라 함수의 곱에 대한) [[동치류]]가 갖추어진 [[매끄러운 다양체]]이다.

== 정의 ==
매끄러운 다양체 <math>M</math> 위의 두 [[준 리만 계량]] <math>g</math>, <math>h</math>에 대하여, 다음과 같은 관계가 존재한다면 서로 '''동치'''라고 하자.
:<math>g = \lambda h\qquad(\lambda\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R^+))</math>
위와 같은 준 리만 계량의 [[동치류]]를 '''등각 계량'''({{llang|en|conformal metric}})이라고 하자. 등각 계량을 갖춘 매끄러운 다양체를 등각 다양체라고 한다.

== 성질 ==
=== 곡률 ===
<math>d</math>차원 [[준 리만 다양체]] <math>(M,g)</math>의 [[리만 곡률]]
:<math>\operatorname{Riem}(X,Y)Z = ([\nabla_X,\nabla_Y]-\nabla_{[X,Y]})Z</math>
:<math>(\operatorname{Riem}(X,Y)Z)^l = R^l{}_{ijk}Z^iX^jY^k</math>
을 생각하고, [[리치 곡률]]
:<math>\operatorname{Ric}_{ij} = \operatorname{Riem}^l{}_{ilj}</math>
를 정의하자. 그렇다면,
:<math>g'_{ij} = \exp(2\phi)g_{ij}</math>
에 대하여, 리치 곡률은 다음과 같이 변환한다.
:<math>\operatorname{Ric}[g']_{ij} = \operatorname{Ric}[g]_{ij} - (d-2)\left(
\nabla_i\partial_j\phi-(\partial_i\phi)\partial_j\phi
\right) - g_{ij}g^{kl}\left(\nabla_k\partial_l\phi + (d-2)
(\partial_k\phi)\partial_i\phi
\right)</math>
즉, 리치 곡률은 <math>d\ge2</math>일 경우 등각 불변량이 아니며, 등각 다양체에 대하여 정의될 수 없다. (물론 <math>d\le1</math>일 경우 모든 곡률은 항상 0이다.)

반면, <math>d>2</math>일 때, [[바일 곡률]] 텐서
:<math>C^i{}_{jkl} = \operatorname{Riem}^i{}_{jkl} + \frac{
\operatorname{Ric}_{i'l}g^{ii'}g_{jk} - \operatorname{Ric}_{i'k}g^{ii'}g_{jl}
+\operatorname{Ric}_{jk}\delta^i_l - \operatorname{Ric}_{i'l}g^{ii'}g_{jk}
}{d-2}
+ \frac{\delta^i_kg_{jl}-\delta^i_lg_{jk}}{(d-1)(d-2)}g^{mn}\operatorname{Ric}_{mn}</math>
를 정의하면, 이는 등각 변환에 대하여 불변임을 보일 수 있다. 즉, (1,3)차 텐서인 바일 곡률은 등각 다양체에 대하여 잘 정의된다.

=== 호지 쌍대 ===
<math>p</math>차 [[미분 형식]]의 경우, [[호지 쌍대]] 사상은 등각 변환 <Math>g(-,-)\mapsto\exp(2\phi)g(-,-)</math>에 대하여 다음과 같이 변환한다.
:<math>*' = \exp((d-2p)\phi)*</math>
다시 말해, 만약 <math>p = d/2</math>일 경우에만, 호지 쌍대 사상은 등각 불변이다.

=== 등각 킬링 벡터장 ===
등각 다양체 <math>(M,[g])</math> 위의 '''등각 킬링 벡터장'''({{llang|en|conformal Killing vector field}})은 다음 조건을 만족시키는 벡터장이다.
:<math>\mathcal L_Xg = \lambda g \qquad(\lambda\in\mathcal C^\infty(M,\mathbb R^+))</math>
이는 구체적으로 다음과 같다.
:<math>\nabla_iX_j + \nabla_jX_i - \frac2d g_{ij}\nabla_kX^k = 0</math>
이는 등각 다양체의 대칭을 나타낸다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용| author=Kobayashi, Shoshichi| title = Transformation Groups in Differential Geometry | publisher=Springer | year=1970|edition=First |isbn = 3-540-05848-6}}
* {{서적 인용|last=Slovák|first=Jan|title=Invariant Operators on Conformal Manifolds|url=http://www.math.muni.cz/~slovak/ftp/papers/vienna.ps|year=1993|publisher=Research Lecture Notes, University of Vienna (Dissertation)}}
* {{서적 인용| author=Sternberg, Shlomo |title=Lectures on differential geometry | url=https://archive.org/details/lecturesondiffer0000ster_a2c2 |location=New York |publisher=Chelsea |year=1983 |isbn=0-8284-0316-3}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Conformal connection}}
* {{eom|title=Conformal geometry}}
* {{nlab|id=conformal geometry|title=Conformal geometry}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:리만 기하학]]