들리뉴-베일린손 코호몰로지 문서 원본 보기

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[[기하학]]에서 '''들리뉴-베일린손 코호몰로지'''(Deligne-Бе́йлинсон cohomology, {{llang|en|Deligne–Beilinson cohomology}}) 또는 '''들리뉴 코호몰로지'''는 접속을 갖는 [[원군]] <math>n</math>-[[주다발]]을 나타내는, [[미분 형식]]으로 구성된 [[공사슬 복합체]]로서 정의되는 [[코호몰로지]] 이론이다. [[복소다양체]]와 [[매끄러운 다양체]]에 적용될 수 있다.

== 정의 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 [[아벨 군]] [[사슬 복합체]]를 정의할 수 있다.
:<math>\mathcal C^\infty(X,\operatorname U(1)) \xrightarrow{\frac{\mathrm d\ln}{2\pi\mathrm i}}\Omega^1(X) \xrightarrow{\mathrm d} \Omega^2(M) \xrightarrow{\mathrm d}\Omega^2(M) \xrightarrow{\mathrm d}\dotsb\xrightarrow{\mathrm d}\Omega^n(X)</math>
여기서
* <math>n</math>은 임의의 [[자연수]]이다. (특히, <math>X</math>의 차원과는 관련이 없다.)
* <math>\mathcal C^\infty(X,\operatorname U(1))</math>는 <math>X</math>를 [[정의역]]으로, [[원군]] U(1)을 [[공역]]으로 하는 [[매끄러운 함수]]의 점별 곱셈군이다.
* <math>\Omega^k(X)</math>는 <math>X</math>의 <math>k</math>차 (실수) [[미분 형식]]의 [[실수 벡터 공간]]이다.
* <math>\mathrm d\colon\Omega^\bullet(X)\to\Omega^{\bullet+1}(X)</math>는 <math>X</math> 위의 [[미분 형식]]의 [[외미분]]이다.
* <math>(1/2\pi\mathrm i)\mathrm d\ln\colon\mathcal C^\infty(X,\operatorname U(1))\to\Omega^1(X)</math>는 다음과 같다. 우선, [[원군]]을 <math>\operatorname U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}</math>으로 여기면, 충분히 작은 [[열린집합]] <math>U\subseteq X</math>에서, 함수 <math>f\restriction U\colon U\to\operatorname U(1)</math>의 [[자연 로그]] <math>\ln f</math>는 [[분지 절단]] 없이 매끄럽게 정의될 수 있다. 이 분지에 대하여, <math>(1/2\pi\mathrm i)\log f\colon U\to\mathbb R</math>는 실수 값의 [[매끄러운 함수]]이다. 물론, 이는 선택된 분지에 의존하며, 분지를 바꾸면 그 값은 상수 <math>2\pi</math>씩 바뀌게 된다. 그러나 그 미분 <math>-\mathrm i\mathrm d\log f\in\Omega^1(X)</math>은 분지에 의존하지 않는다. 따라서, 이들을 짜깁기하여 [[1차 미분 형식]] <math>(1/2\pi\mathrm i)\mathrm d\ln f \in \Omega^1(X)</math>을 정의할 수 있다.

이 공사슬 복합체를 '''들리뉴-베일린손 공사슬 복합체'''({{llang|en|Deligne–Beilinson cochain complex}})라고 하며, 그 [[코호몰로지]]를 <math>n</math>차 '''들리뉴-베일린손 코호몰로지'''라고 한다.

위 묘사는 (실수) [[매끄러운 다양체]]에 대한 경우이다. 이 밖에도, [[복소다양체]]에 대한 경우가 존재한다. 이 경우, <math>k</math>차 [[미분 형식]] 대신 <Math>(k,0)</math>차 [[복소 미분 형식]]을 사용하며, [[외미분]] <math>\mathrm d</math> 대신 정칙 외미분 <math>\partial\colon\Omega^{\bullet,\bullet}(-)\to\Omega^{\bullet+1,\bullet}(-)</math>을 사용하며, 첫째 항은 [[복소다양체]] <math>X</math> 위의, <math>\mathbb C^\times=\mathbb C\setminus\{0\}</math> 값의 [[정칙 함수]]들의 곱셈군이다. (이는 구조층 <math>\mathcal O_X</math>의 가역원층 <math>\mathcal O_X^\times</math>의 단면에 해당한다.)
:<math>\Gamma(\mathcal O_X^\times;X) \xrightarrow{\mathrm d\ln} \Omega^{1,0}(X)\xrightarrow\partial\Omega^{2,0}(X)\xrightarrow\partial\dotsb</math>

== 성질 ==
[[매끄러운 다양체]] <math>X</math> 위의 <math>n</math>차 들리뉴-베일린손 코호몰로지 <math>\operatorname H^n_{\operatorname{conn}}(X)</math>는 <math>X</math> 위의, 접속을 갖는 [[원군]] <math>(n-1)</math>-주다발을 나타낸다.
:<math>\operatorname H^n_{\operatorname{conn}}(X) \cong [X,\mathrm B^n\operatorname U(1)]</math>

=== 다른 코호모로지 코호몰로지와의 관계 ===
들리뉴-베일린손 공사슬 복합체는 [[드람 복합체]]와 유사하지만, 첫째 항이 다르다. 이는 매우 중요한 역할을 한다.

마찬가지로, 표준적인 망각 함자
:<math>\operatorname H_{\operatorname{conn}}^n(X) \to \operatorname H_{\operatorname{sing}}^n(X;\mathbb Z)</math>
가 존재한다. (여기서 [[공역]]은 [[특이 코호몰로지]]이다.)

보다 일반적으로, [[완전열]]
:<math>0\to\Omega_{\text{int}}^{n-1}(X)\to \Omega^{n-1}(X)\to \operatorname H_{\operatorname{conn}}^n(X)\to\operatorname H_{\text{sing}}^n(X;\mathbb Z)\to0</math>
이 존재한다. 여기서, 사상 <math>\Omega^{n-1}(X)\to\operatorname H_{\operatorname{conn}}^n(X)</math>은 [[원군]] <math>n</math>-주다발 위의 접속이 <math>(n-1)</math>차 [[미분 형식]]으로 정의됨을 뜻하며, 사상 <math>\Omega_{\operatorname{int}}^{n-1}(X)\to\Omega^{n-1}(X)</math>은 같은 접속을 나타내는 두 <math>(n-1)</math>차 미분 형식의 차이는 정수 주기({{llang|en|integral period}})의 미분 형식임을 뜻한다.

또한, 완전열
:<math>\operatorname H^n(X;\operatorname U(1)) \to \operatorname H^n_{\operatorname{conn}}(X) \to \Omega^n(X)</math>
이 존재한다. 여기서
* <math>\operatorname H^n_{\operatorname{conn}}(X) \to \Omega^n(X)</math>은 접속을 갖는 <math>n</math>-주다발의 [[곡률]]이 <math>n</math>차 [[미분 형식]]임을 뜻한다.
* <math>\operatorname H^n(X;\operatorname U(1)) \to \operatorname H^n_{\operatorname{conn}}(X)</math>은 같은 곡률을 갖는 두 <math>n</math>-주다발의 차는 평탄한 <Math>n</math>-주다발임을 뜻한다.

== 역사 ==
[[피에르 들리뉴]]가 1971년에 [[복소다양체]]에 대하여 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Pierre|성=Deligne|제목=Théorie de Hodge Ⅱ|저널=Publications Mathématiques de l’Institut des Hautes Études Scientifiques|url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1971__40__5_0|zbl=0219.14007 |mr=498551 |날짜=1971|권=40|쪽=5–57|언어=fr}}</ref> 이후 1993년에 장뤼크 브릴린스키({{llang|fr|Jean-Luc Brylinski|언어=fr}})가 이 이론이 [[매끄러운 다양체]]에 대해서도 잘 작동한다는 것을 밝혔다.<ref>{{서적 인용|이름=Jean-Luc|성=Brylinski|제목= Loop Spaces, Characteristic Classes and geometric Quantization|url=https://archive.org/details/loopspacescharac0000bryl|출판사=Birkhäuser |날짜=1993|언어=en}}</ref>{{rp|§5}}

== 같이 보기 ==
* [[다발 제르브]]
* [[모티브 코호몰로지]]
* [[호지 구조]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|장=Deligne–Beilinson cohomology|이름=Hélène|성=Esnault|이름2=Eckart|성2=Viehweg|제목=Beilinson’s conjectures on special values of ''L''-functions|날짜=1988|isbn=0-12-581120-9|장url=https://www.uni-due.de/~mat903/preprints/ec/deligne_beilinson.pdf|총서=Perspectives in Mathematics|권=4|출판사=Academic Press|쪽=43–91|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=1208.3961|날짜=2012|제목=Differential cohomology|이름=Ulrich|성=Bunke|bibcode=2012arXiv1208.3961B|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=Deligne cohomology}}
* {{nlab|id=ordinary differential cohomology|title=Ordinary differential cohomology}}

{{전거 통제}}

[[분류:호몰로지 이론]]
[[분류:대수기하학]]
[[분류:미분기하학]]