드람 코호몰로지 문서 원본 보기

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[[대수적 위상수학]]과 [[미분위상수학]]에서 '''드람 코호몰로지'''({{llang|en|de Rham cohomology}})는 [[매끄러운 다양체]]의 [[미분 형식]]에 대하여 존재하는 [[코호몰로지]]로서, [[외미분]]의 제곱이 0인 사실에서 기인한다.<ref>{{서적 인용|제목=다양체의 미분위상수학|저자=조용승|isbn=89-88791-11-8|연도=1999|월=4|위치=서울|출판사=아르케}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Undergraduate lecture notes in De Rham–Hodge theory|이름=Vladimir G.|성=Ivancevic|공저자=Tijana T. Ivancevic|arxiv=0807.4991|bibcode=2008arXiv0807.4991I|날짜=2008|언어=en}}</ref> 미분 형식을 써 매끄러운 다양체의 [[위상수학]]적인 성질들을 효과적으로 표현할 수 있고, 계산에도 효율적이어서 매끄러운 다양체를 다루는 기본적 도구 가운데 하나다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 매끄러운 [[벡터 다발|선형 다발]] <math>E\twoheadrightarrow M</math>
그렇다면, <math>M</math> 위의 [[벡터 값 미분 형식|<math>E</math> 값의 미분 형식]]
:<math>\Omega^\bullet(M;E) = \Gamma\left(E \otimes \bigwedge\mathrm T^*M\right)</math>
을 정의할 수 있다. <math>E</math> 위의 [[코쥘 접속|선형 다발 접속]]
:<math>\nabla \colon \Gamma(E) \to \Gamma(E\otimes\mathrm T^*M)</math>
을 고르면, 이로부터 [[벡터 값 미분 형식|<math>E</math> 값의 미분 형식]]의 [[외미분]]
:<math>\mathrm d_\nabla \colon \Omega^\bullet(M;E) \to \Omega^{\bullet+1}(M;E) </math>
을 정의할 수 있다. 그렇다면, <math>\mathrm d_\nabla\circ\mathrm d_\nabla</math>는 <math>\nabla</math>의 [[곡률]]에 비례하며, 만약 <math>\nabla</math>가 [[코쥘 접속|평탄 선형 다발 접속]]이라면 <math>\mathrm d_\nabla\circ\mathrm d_\nabla = 0</math>이다. 즉, 이 경우 [[공사슬 복합체]]
:<math>0 \to\Omega^0(M;E) \,\overset{\mathrm d_\nabla}\to\, \Omega^1(M;E) \,\overset{\mathrm d_\nabla}\to\, \dotsb \,\overset{\mathrm d_\nabla}\to\, \Omega^{\dim M}(M;E) \to 0</math>
가 존재한다. 이를 '''드람 공사슬 복합체'''(de Rham共사슬複合體, {{llang|en|de Rham cochain complex}})라고 하며, 그 [[코호몰로지]]
:<math>\operatorname H^i_\text{dR}(M;E) = \frac{\ker(\mathrm d_\nabla \restriction \Omega^i(M;E))}{\operatorname{im}(\mathrm d_\nabla \restriction \Omega^{i-1}(M;E))}\qquad(i\in\mathbb N)</math>
를 '''<math>E</math> 계수의 드람 코호몰로지'''({{llang|en|de Rham cohomology with coefficients in <math>E</math>}})라고 한다.

특히, <math>E = M \times \mathbb R</math>가 자명한 [[코쥘 접속|선형 다발 접속]]을 갖춘 자명한 [[벡터 다발|선형 다발]]인 경우,  [[벡터 값 미분 형식|<math>E</math> 값의 미분 형식]]은 단순한 [[미분 형식]]이다. 만약 계수 <math>E</math>가 명시되지 않았다면, 이 자명한 경우를 뜻한다.

다른 형식의 외미분인 미분 형식을 '''완전 미분 형식'''(完全微分形式, {{llang|en|exact differential form}})이라고 부르며, 외미분이 0인 형식을 '''닫힌 미분 형식'''(닫힌微分形式, {{llang|en|closed differential form}})이라고 부른다. 따라서 드람 코호몰로지 <math>\operatorname H_\text{dR}^k(M;E)</math>는 <math>E</math> 값의 <math>k</math>차 닫힌 미분 형식의 공간에서 <math>E</math> 값의 <math>k</math>차 완전 미분 형식을 더하는 것에 대한 [[동치류]]를 취한 [[상공간]]이다.

== 성질 ==
=== 다른 코호몰로지 이론과의 비교 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 안의 ''k''-[[특이 사슬]] <math>C</math>위에 ''k''-형식 <math>\omega</math>를 적분할 수 있다. 즉 <math>\textstyle\int_C\omega</math>가 정의 가능하다.
이는 [[스토크스 정리]]에 따라 드람 코호몰로지 <math>\operatorname H^k_\text{dR}(M)</math>에서 실수 계수 [[특이 코호몰로지]] <math>\operatorname H^k(M;\mathbb R)</math>으로 가는 [[사슬 복합체|사슬 사상]]을 정의할 수 있다. '''드람 정리'''에 따라 이는 사실 사슬 [[동형사상]]이다. 이는 [[조르주 드 람]]이 1931년에 증명하였다.

[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[리만 다양체]] 위에는 [[호지 이론]]에 따라 조화 형식의 코호몰로지를 정의할 수 있다. 이 경우 '''호지 정리'''({{lang|en|Hodge theorem}})에 따라 드람 코호몰로지와 조화 코호몰로지는 동형이다.

또한, 드람 코호몰로지는 (적절히 정의한) [[체흐 코호몰로지]]나 [[알렉산더-스패니어 코호몰로지]]({{lang|en|Alexander–Spanier cohomology}})와 동형이다.

[[복소다양체]]의 경우에는 드람 코호몰로지와 유사한 [[돌보 코호몰로지]]를 정의할 수 있다. 돌보 코호몰로지에도 스토크스 정리와 유사한 정리가 성립한다. [[켈러 다양체]]의 경우 돌보 코호몰로지와 드람 코호몰로지는 동형이다.

=== 연산과의 호환 ===
임의의 두 [[매끄러운 벡터 다발]] <math>E, E'\twoheadrightarrow M</math>이 주어졌을 때, 다음이 성립하며, 이 동형 사상은 표준적이다.
:<math>\operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR}}(M;E\oplus E')\cong\operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR}}(M;E)\oplus \operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR}}(M;E')</math>
즉, 자명한 벡터 다발과의 텐서곱에 대하여 다음이 성립한다.
:<math>\operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR}}(M;E\otimes\mathbb R^n)\cong\operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR}}(M;E) \otimes \mathbb R^n</math>
특히, 0차원 벡터 다발 계수의 드람 코호몰로지는 [[자명군]]이다.
:<math>\operatorname H^\bullet_{\operatorname{dR}}(M;0)\cong 0</math>

== 예 ==
항상 그런 것은 아니지만, 경우에 따라서는 어떤 다양체의 드람 코호몰로지 군을, 몇가지 기본적인 다양체의 드람 코호몰로지 군에 대하 정보와 몇가지 기초적인 정리들, 예를 들면 [[마이어-피토리스 열]] 등을 사용하여 계산할 수 있을 때도 있다. 또 한 가지 드람 코호몰로지 군에 대해서 유용한 사실 한 가지는 이것이 [[호모토피]] 불변량이라는 사실이다. 몇 가지 기본적인 공간들의 드람 코호몰로지 군의 예를 보자.

=== 초구 ===
<math>n</math>차원 [[초구]]의 코호몰로지 군은
<math>\operatorname H_{dR}^{k}(\mathbb S^n) \simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n \end{cases}</math>
이다. 한편, 드람 코호몰로지 군은 호모토피 불변량이므로, 따라서 사실은 <math>\mathbb I</math>가 임의의 선분일 때에,
<math>\operatorname H_\text{dR}^k(\mathbb S^n \times\mathbb I^m) \simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n \end{cases}</math>
도 성립한다.

===원환면===
<math>n</math>차원 [[원환면]]의 드람 코호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H_\text{dR}^k(\mathbb T^n) \simeq \mathbb{R}^{\binom nk}</math>

===구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간===
구멍이 하나 뚫린 유클리드 공간은 <math>\mathbb R^n\setminus\{0\}</math>를 말한다. 이때에,

:{|
|-
|<math>H_{dR}^{k}(\mathbb{R}^n - \{0\})</math>
|<math>\simeq \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{if } k = 0,n-1 \\ 0 & \mbox{if } k \ne 0,n-1 \end{cases}</math>
|-
|
|<math>\simeq H_{dR}^{k}(S^{n-1})</math>
|}

===뫼비우스의 띠===
[[뫼비우스의 띠]] <math>M</math>는 원과 [[호모토피 동치]]이므로 그 드람 코호몰로지는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H_{\text{dR}}^k(M) \simeq H_{dR}^{k}(S^1)</math>

=== 0차 성분 ===
간단한 예로, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>이 <math>n</math>개의 [[연결 성분]]을 지니면, 다음과 같이 계산할 수 있다.
:<math>\operatorname H_{\text{dR}}^0(M)=\mathbb{R}^n</math>
즉, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위에서 정의된 [[매끄러운 함수]]의 [[기울기 (벡터)|기울기]]가 0이면, 그 함수는 각각의 연결 성분에서 상수 함수다.

== 같이 보기 ==
* [[호지 이론]]
* [[올적분]]
* [[층 (수학)]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=De Rham cohomology }}
* {{매스월드|id=deRhamCohomology|title=De Rham cohomology}}
* {{nlab|id=de Rham complex|title=De Rham complex}}
* {{nlab|id=de Rham theorem|title=De Rham theorem}}
* {{nlab|id=equivariant de Rham cohomology|title=Equivariant de Rham cohomology}}

{{전거 통제}}

[[분류:미분 형식]]
[[분류:호몰로지 이론]]