동형 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''동형 정리'''(同型定理, {{llang|en|isomorphism theorem}})는 [[준동형]]과 부분 대수, [[합동 관계]] 사이의 관계를 나타내는 3개의 정리다.<ref name="Burris">{{서적 인용
|이름1=Stanley N.
|성1=Burris
|이름2=Hanamantagouda P.
|성2=Sankappanavar
|제목=A course in universal algebra
|언어=en
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=78
|출판사=Springer
|날짜=1981
|isbn=978-1-4613-8132-7
|issn=0072-5285
|mr=0648287
|zbl=0478.08001
|url=https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html
|url-status=live
|확인날짜=2022-08-08
|보존url=https://web.archive.org/web/20220724132440/https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html
|보존날짜=2022-07-24
}}</ref>{{rp|§II.6}} 이는 [[보편 대수학]]의 정리로, 임의의 [[대수 구조]]에 대하여 정의할 수 있다.

== 정의 ==
[[대수 구조]] <math>(S,F)</math>는 집합 <math>S</math>와, <math>S^{\times n}\to S</math> 꼴의 함수들의 집합 <math>F</math>의 순서쌍이다. 같은 연산들을 갖는 두 대수의 [[준동형]]은 연산들을 보존시키는 함수이다.

=== 제1 동형 정리 ===
대수 [[준동형]] <math>\phi\colon A\to B</math>에 대하여, 다음 명제들이 성립한다.
* <math>\phi(A)\subset B</math>는 <math>B</math>의 부분대수이다.
* <math>a\sim b\iff\phi(a)=\phi(b)</math>는 <math>A</math> 위의 [[합동 관계]]이다.
* <math>\phi/\sim\colon A/\sim\to \phi(A)</math>는 대수의 [[동형 사상]]이다.

=== 제2 동형 정리 ===
대수 <math>(A,F)</math> 및 부분대수 <math>(B,F|_B)\subset(A,F)</math> 및 <math>A</math> 위의 [[합동 관계]] <math>\sim</math>가 주어졌다고 하면, 다음 명제들이 성립한다.
* <math>\sim|_B</math>는 <math>B</math> 위의 합동 관계이다.
* <math>B^\sim=\{a\in A|[a]\cap B\ne\varnothing\}</math>가 <math>B</math>와 겹치는 <math>\sim</math>-[[동치류]]들의 원소들의 집합이라고 하자. 그렇다면 <math>B^\sim</math>은 <math>A</math>의 부분대수이다.
* <math>B^\sim/\sim|_{B^\sim}</math>은 <math>B/\sim|_B</math>와 동형이다.

=== 제3 동형 정리 ===
대수 <math>A</math> 위에 두 [[합동 관계]] <math>\sim_1,\sim_2</math>가 주어졌으며, <math>a\sim_1b</math>라면 <math>a\sim_2b</math>이라고 하자. 즉, <math>\sim_1</math>이 <math>\sim_2</math>보다 더 고른 [[동치 관계]]라고 하자. 그렇다면 다음 명제들이 성립한다.
* <math>A/\sim_1</math> 위의 [[이항 관계]] <math>\sim_2/\sim_1</math>를 <math>[a]\sim_2/\sim_1[b]\iff a\sim_2b</math>로 정의하자. 그렇다면 <math>\sim_2/\sim_1</math>는 <math>A/\sim_1</math> 위의 [[합동 관계]]이다.
* <math>(A/\sim_1)/(\sim_2/\sim_1)</math>는 <math>A/\sim_2</math>과 동형이다.

== 예 ==
위 3개의 동형 정리는 [[보편 대수학]]에 따라, 임의의 [[대수 구조]]에 적용할 수 있다. 대표적인 예는 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 보편 대수 !! 군 !! 환 !! 가군
|-
| 대수 구조 <math>A</math>  || [[군 (수학)|군]] <math>G</math> || [[환 (수학)|환]] <math>R</math> || <math>R</math>-[[왼쪽 가군]] <math>M</math>
|-
| [[합동 관계]] <math>\sim</math> || [[정규 부분군]] <math>N\vartriangleleft G</math> || [[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subset R</math> || 부분가군 <math>N\subset M</math>
|-
| 부분 대수 <math>B\subset A</math> || [[부분군]] <math>H\le G</math> || [[부분환]] <math>S\subset R</math> || 부분가군 <math>P\subset M</math>
|-
| <math>B^\sim\subset A</math> || <math>HN\le G</math> || <math>S+\mathfrak a\subset R</math> || <math>N+P\subset M</math>
|-
| <math>\sim|_B</math> || <math>H\cap N\vartriangleleft H</math> || <math>S\cap\mathfrak a\subset S</math> || <math>N\cap P\subset N</math>
|-
| <math>\sim|_{B^\sim}</math> || <math>N</math> || <math>\mathfrak a</math> || <math>P</math>
|-
| <math>\sim_1</math>이 <math>\sim_2</math>보다 더 고름 || <math>N_1\subset N_2</math> || <math>\mathfrak a_1\subset\mathfrak a_2</math> || <math>N_1\subset N_2</math>
|-
| <math>\sim_2/\sim_1</math> || <math>N_2/N_1\vartriangleleft G/N_1</math> || <math>\mathfrak a_2/\mathfrak a_1\subset R/\mathfrak a_1</math> || <math>N_2/N_1\subset M/N_1</math>
|}

=== 군 동형 정리 ===
==== 제1 동형 정리 ====
[[군 준동형]] <math>\phi\colon G\to L</math>에 대하여,
* <math>\phi(G)\le L</math>
* <math>\ker\phi\vartriangleleft G</math>
* <math>G/\ker\phi\cong\phi(G)</math>
==== 제2 동형 정리 ====
군 <math>G</math> 및 부분군 <math>H\le G</math> 및 [[정규 부분군]] <math>N\vartriangleleft G</math>에 대하여,
* <math>H\cap N\vartriangleleft H</math>
* <math>HN\le G</math>
* <math>(HN)/N\cong H/(H\cap N)</math>
==== 제3 동형 정리 ====
군 <math>G</math> 및 [[정규 부분군]] <math>N_1\le N_2\vartriangleleft G</math>에 대하여,
* <math>N_2/N_1\vartriangleleft G/N_1</math>
* <math>(G/N_1)/(N_2/N_1)\cong G/N_2</math>

===  환 동형 정리 ===
==== 제1 동형 정리 ====
[[환 준동형]] <math>\phi\colon R\to S</math>에 대하여,
* <math>\phi(R)</math>는 <math>S</math>의 부분환이다.
* <math>\ker\phi</math>는 <math>R</math>의 [[아이디얼]]이다.
* <math>R/\ker\phi\cong\phi(R)</math>
==== 제2 동형 정리 ====
환 <math>R</math> 및 부분환 <math>S\subset R</math> 및 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subset R</math>에 대하여,
* <math>S\cap\mathfrak a</math>는 <math>S</math>의 아이디얼이다.
* <math>S+\mathfrak a</math>는 <math>R</math>의 부분환이다.
* <math>(S+\mathfrak a)/\mathfrak a\cong S/(S\cap\mathfrak a)</math>
==== 제3 동형 정리 ====
환 <math>R</math> 및 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a_1\subset\mathfrak a_2\subset R</math>에 대하여,
* <math>\mathfrak a_2/\mathfrak a_1</math>은 <math>R/\mathfrak a_1</math>의 아이디얼이다.
* <math>(R/\mathfrak a_1)/(\mathfrak a_2/\mathfrak a_1)\cong R/\mathfrak a_2</math>

=== 가군 동형 정리 ===
모든 가군은 주어진 [[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대한 [[왼쪽 가군]]이다.
==== 제1 동형 정리 ====
가군 준동형 <math>\phi\colon M\to N</math>에 대하여,
* <math>\phi(M)</math>은 <math>N</math>의 부분가군이다.
* <math>\ker\phi</math>는 <math>M</math>의 부분가군이다.
* <math>M/\ker\phi\cong\phi(M)</math>
==== 제2 동형 정리 ====
가군 <math>M</math>의 부분가군 <math>N,P\subset M</math>에 대하여,
* <math>N\cap P</math>는 <math>N</math>의 부분가군이다.
* <math>(N+P)/P</math>는 <math>M/N</math>의 부분가군이다.
** 따라서, <math>N+P</math>는 <math>M</math>의 부분가군이다.
* <math>(N+P)/P\cong N/(N\cap P)</math>
==== 제3 동형 정리 ====
가군 <math>M</math>의 부분가군 <math>N_1\subset N_2\subset M</math>에 대하여,
* <math>N_2/N_1</math>은 <math>M/N_1</math>의 부분가군이다.
* <math>(M/N_1)/(N_2/N_1)\cong M/N_2</math>

== 역사 ==
[[에미 뇌터]]가 1927년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Emmy|성=Noether|저자링크=에미 뇌터|제목=Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl- und Funktionenkörpern|저널=Mathematische Annalen|issn=0025-5831|권=96|날짜=1927|쪽=26–61|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002270951|doi=10.1007/BF01209152|언어=de|확인날짜=2014-10-19|보존url=https://web.archive.org/web/20140903125715/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002270951|보존날짜=2014-09-03|url-status=dead}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=Colin|성=McLarty|장=Emmy Noether’s ‘set theoretic’ topology: from Dedekind to the rise of functors|장url=http://www.cwru.edu/artsci/phil/Noethertopology.pdf|제목=The architecture of modern mathematics: essays in history and philosophy|url=http://ukcatalogue.oup.com/product/9780198567936.do|편집자=Jeremy Gray, José Ferreirós|출판사=Oxford University Press|날짜=2006|쪽=211–35|zbl=1129.01010|언어=en}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=David S.|성=Dummit|공저자=Richard M. Foote|날짜=2004|제목=Abstract Algebra|판=3판|출판사=Wiley|isbn=978-0-471-43334-7|zbl=1037.00003|언어=en|oclc=248917264}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=FirstGroupIsomorphismTheorem|title=First Group Isomorphism Theorem}}
* {{매스월드|id=SecondGroupIsomorphismTheorem|title=Second Group Isomorphism Theorem}}
* {{매스월드|id=ThirdGroupIsomorphismTheorem|title=Third Group Isomorphism Theorem}}
* {{매스월드|id=FirstRingIsomorphismTheorem|title=First Ring Isomorphism Theorem}}
* {{매스월드|id=SecondRingIsomorphismTheorem|title=Second Ring Isomorphism Theorem}}
* {{매스월드|id=ThirdRingIsomorphismTheorem|title=Third Ring Isomorphism Theorem}}

== 같이 보기 ==
* [[준동형 정리]]

{{전거 통제}}

[[분류:추상대수학]]