동축원 다발 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[기하학]]에서 '''동축원 다발'''(同軸圓-, {{llang|en|pencil of coaxal circles}})은 같은 [[근축]]을 공유하는 [[원 (기하학)|원]]들의 족이다.

== 정의 ==
[[평면]] <math>\mathbb R^2</math> 위에서 서로 다른 두 [[원 (기하학)|원]] <math>\Gamma,\Gamma'</math>의 방정식이
:<math>a(x^2+y^2)-2bx-2cy+d=0</math>
:<math>a'(x^2+y^2)-2b'x-2c'y+d'=0</math>
이라고 하자. 여기서 <math>(a,b,c,d)</math>와 <math>(a',b',c',d')</math>은 [[실수 동차 좌표]]이다. (이 두 원은 각각 일반적인 [[점원과 허원|실원]]이거나, [[점원과 허원|점원]] 또는 [[점원과 허원|허원]]이거나, 유한 [[직선]]이거나, [[무한원 직선]]이다.) '''두 원 <math>\Gamma,\Gamma'</math>으로 생성된 동축원 다발'''은 방정식이
:<math>\lambda(a(x^2+y^2)-2bx-2cy+d)+\lambda'(a'(x^2+y^2)-2b'x-2c'y+d')=0</math>
인 원
:<math>\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'</math>
들의 족 <math>\mathcal C</math>이다. 여기서 <math>(\lambda,\lambda')</math>은 실수 동차 좌표이다.

== 분류 ==
[[평면]] <math>\mathbb R^2</math> 위에서 서로 다른 두 [[원 (기하학)|원]] <math>\Gamma,\Gamma'</math>으로 생성되는 동축원 다발 <math>\mathcal C</math>는 적어도 하나의 실원 또는 유한 직선을 포함한다. 편의상 <math>\mathcal C</math>가 실원을 포함할 경우 <math>\Gamma</math>가 실원이라고 가정하고, 그렇지 않을 경우 <math>\Gamma</math>가 유한 직선이라고 가정하자. 임의의 실수 동차 좌표 <math>(\lambda,\lambda')</math>에 대하여,
:<math>\Delta_{\Gamma,\Gamma'}(\lambda,\lambda')=\lambda^2(b^2+c^2-ad)+\lambda\lambda'(2(bb'+cc')-(ad'+a'd))+{\lambda'}^2({b'}^2+{c'}^2-a'd')</math>
와 같이 표기하자. 이는 <math>(\lambda,\lambda')</math>에 대한 [[실수 이차 형식]]이다. <math>\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'</math>이 직선이 아닐 경우 이는 <math>\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'</math>의 반지름의 제곱에 비례한다. 특히, 만약 <math>\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'</math>이 직선이 아니고 <math>\Delta_{\Gamma,\Gamma'}(\lambda,\lambda')</math>이 양수·0·음수일 경우, <math>\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma'</math>은 각각 실원·점원·허원이다. 이 이차 형식 <math>\Delta_{\Gamma,\Gamma'}</math>의 [[행렬식]]은 다음과 같다.
:<math>4\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}=4(b^2+c^2-ad)({b'}^2+{c'}^2-a'd')-(2(bb'+cc')-(ad'+a'd))^2</math>
동축원 다발 <math>\mathcal C</math>는 이차 형식 <math>\Delta_{\Gamma,\Gamma'}</math>의 성질에 따라 다음과 같이 분류된다.

=== 타원형 동축원 다발 ===
만약 <math>\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}>0</math>이라면, <math>\Delta_{\Gamma,\Gamma'}</math>은 [[양의 정부호 이차 형식]]이며, <math>\mathcal C</math> 속 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한 <math>\Gamma</math>와 <math>\Gamma'</math>은 서로 다른 두 교점 <math>P,Q</math>에서 만난다. 보다 일반적으로 <math>\mathcal C</math>는 <math>P</math>와 <math>Q</math>를 지나는 모든 원들의 족이며, 특히 <math>\mathcal C</math>의 근축은 직선 <math>PQ</math>이다. 이 경우 <math>\mathcal C</math>를 '''타원형 동축원 다발'''(楕圓型同軸圓-, {{llang|en|elliptic pencil of coaxal circles}}) 또는 '''교차 동축원 다발'''(交叉同軸圓-, {{llang|en|intersecting pencil of coaxal circles}})이라고 하고, 두 공통 교점 <math>P,Q</math>를 <math>\mathcal C</math>의 '''기저점'''(基底點, {{llang|en|base point}})이라고 한다.

만약 두 교점 가운데 하나가 [[확장 복소평면]]의 무한대 <math>Q=\widehat\infty</math>일 경우, <math>\mathcal C</math>는 교점이 <math>P</math>인 [[공점선]] 다발이다.<ref name="Schwerdtfeger">{{서적 인용
|성=Schwerdtfeger
|이름=Hans
|제목=Geometry of Complex Numbers
|url=https://archive.org/details/geometryofcomple0000schw_p7y8
|언어=en
|출판사=Dover Publications
|위치=New York, N.Y.
|날짜=1979
|isbn=0-486-63830-8
}}</ref>

=== 포물형 동축원 다발 ===
만약 <math>\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}=0</math>이라면,
:<math>\Delta_{\Gamma,\Gamma'}\colon(\lambda,\lambda')\mapsto\left(\lambda\sqrt{b^2+c^2-ad}\pm\lambda'\sqrt{{b'}^2+{c'}^2-a'd'}\right)^2</math>
은 [[완전 제곱]]의 꼴이고, <math>\mathcal C</math>는 유일한 점원 <math>P</math>를 가지며, 이를 제외한 모든 비직선 원소는 실원이다. 또한 <math>\Gamma</math>와 <math>\Gamma'</math>은 어떤 점 <math>P</math>에서 서로 접한다. 보다 일반적으로 <math>\mathcal C</math> 속 임의의 두 원은 <math>P</math>에서 접하며, 특히 <math>\mathcal C</math>의 근축은 <math>P</math>에서의 공통 접선이다. 이 경우 <math>\mathcal C</math>를 '''포물형 동축원 다발'''(抛物型同軸圓-, {{llang|en|parabolic pencil of coaxal circles}}) 또는 '''접동축원 다발'''(接同軸圓-, {{llang|en|tangent pencil of coaxal circles}})이라고 한다.

만약 <math>P=\widehat\infty</math>일 경우, <math>\mathcal C</math>는 [[평행선]] 다발이다.

=== 쌍곡형 동축원 다발 ===
만약 <math>\det\Delta_{\Gamma,\Gamma'}<0</math>이라면, <math>\Delta_{\Gamma,\Gamma'}</math>은 [[부정부호 이차 형식]]이며, <math>\mathcal C</math>의 비직선 원소는 실원과 허원 그리고 2개의 점원 <math>P,Q</math>로 이루어진다. 또한 <math>\Gamma</math>와 <math>\Gamma'</math>은 서로 만나지 않는다. 보다 일반적으로 <math>\mathcal C</math> 속 임의의 서로 다른 두 원은 서로 만나지 않으며, 특히 근축과 교점을 갖지 않는다. 이 경우 <math>\mathcal C</math>를 '''쌍곡형 동축원 다발'''(雙曲型同軸圓-, {{llang|en|hyperbolic pencil of coaxal circles}}) 또는 '''비교차 동축원 다발'''(非交叉同軸圓-, {{llang|en|nonintersecting pencil of coaxal circles}})이라고 하고, 두 점원 <math>P,Q</math>를 <math>\mathcal C</math>의 '''극한점'''(極限點, {{llang|en|limiting point}})이라고 한다.

만약 <math>Q=\widehat\infty</math>일 경우, <math>\mathcal C</math>는 중심이 <math>P</math>인 [[동심원]] 다발이다.

== 성질 ==
동축원 다발 <math>\mathcal C</math>는 2차원 부분 사영 공간이므로, 서로 다른 임의의 두 원소는 <math>\mathcal C</math>를 생성한다.

=== 중심선과 근축 ===
동축원 다발 <math>\mathcal C</math> 속 원의 중심들은 [[공선점]]을 이룬다. 동축원 다발 <math>\mathcal C</math> 속 임의의 두 원 <math>\Gamma,\Gamma'\in\mathcal C</math>의 [[근축]]은 같다. 이를 동축원 다발 <math>\mathcal C</math>의 '''근축'''(根軸, {{llang|en|radical axis}})이라고 한다. 동축원 다발 <math>\mathcal C</math>의 근축은 중심선의 수선이며, 또한 <math>\mathcal C</math>의 한 원소이다. 즉, <math>\mathcal C</math> 속의 두 원의 방정식으로부터 2차항을 소거하면 근축의 방정식을 얻는다. 동축원 다발 <math>\mathcal C</math> 속 임의의 비직선 원소에 대한 <math>\mathcal C</math>의 근축 위의 주어진 점의 [[방멱]]은 같다.

동축원 다발 <math>\mathcal C</math>의 중심선을 <math>x</math>축으로 삼고 근축을 <math>y</math>축으로 삼았을 경우 <math>\mathcal C</math>의 비직선 원소들은 다음과 같은 방정식을 갖는 원들로 이루어진다.
:<math>x^2+y^2-2ax+c=0</math>
여기서 <math>c</math>는 <math>\mathcal C</math> 속 임의의 비직선 원소에 대한 <math>\mathcal C</math>의 중심(=중심선과 근축의 교점)의 방멱이고, <math>a\in\mathbb R</math>는 매개변수이다. 만약 <math>c<0</math>이라면, <math>\mathcal C</math>는 기저점이 <math>(0,\pm\sqrt{-c})</math>인 타원형 동축원 다발이며, 위 방정식은 모든 <math>a\in\mathbb R</math>에 대하여 실원을 나타낸다. 만약 <math>c=0</math>이라면, <math>\mathcal C</math>는 포물형 동축원 다발이며, 위 방정식은 <math>a\in\mathbb R\setminus\{0\}</math>에 대하여 실원을 나타내고, <math>a=0</math>에 대하여 점원을 나타낸다. 만약 <math>c>0</math>이라면, <math>\mathcal C</math>는 극한점이 <math>(\sqrt c,0)</math>인 쌍곡형 동축원 다발이며, 위 방정식은 <math>a\in(-\infty,-\sqrt c)\cup(\sqrt c,\infty)</math>에 대하여 실원을 나타내고, <math>a=\pm\sqrt c</math>에 대하여 점원을, <math>a\in(-\sqrt c,\sqrt c)</math>에 대하여 허원을 나타낸다.

=== 직교 동축원 다발 ===
임의의 동축원 다발 <math>\mathcal C</math>에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 동축원 다발 <math>\mathcal C^\perp</math>가 존재하며, 이를 <math>\mathcal C</math>의 '''직교 동축원 다발'''(直交同軸圓-, {{llang|en|orthogonal pencil of coaxal circles}})이라고 한다.
* 임의의 <math>\Gamma\in\mathcal C</math> 및 <math>\Gamma'\in\mathcal C^\perp</math>에 대하여, <math>\Gamma</math>와 <math>\Gamma'</math>은 서로 [[직교]]한다. (즉, (실수) 교점을 가지고, 교점에서의 두 접선은 서로 수직이다.)
자명하게 <math>\mathcal C^{\perp\perp}=\mathcal C</math>가 성립한다. <math>\mathcal C</math>의 직교 동축원 다발 <math>\mathcal C^\perp</math>의 중심선과 근축은 각각 <math>\mathcal C</math>의 근축과 중심선이다. 만약 <math>\mathcal C</math>가 기저점이 <math>P,Q</math>인 타원형 동축원 다발이라면, <math>\mathcal C^\perp</math>는 극한점이 <math>P,Q</math>인 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히, 만약 <math>\mathcal C</math>가 교점이 <math>P</math>인 공점선 다발이라면, <math>\mathcal C^\perp</math>는 중심이 <math>P</math>인 동심원 다발이다. 만약 <math>\mathcal C</math>가 포물형 동축원 다발이라면, <math>\mathcal C^\perp</math>는 역시 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 <math>\mathcal C</math>가 평행선 다발이라면, <math>\mathcal C^\perp</math> 역시 평행선 다발이다. 만약 <math>\mathcal C</math>가 극한점이 <math>P,Q</math>인 쌍곡형 동축원 다발이라면, <math>\mathcal C^\perp</math>는 기저점이 <math>P,Q</math>인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 <math>\mathcal C</math>가 중심이 <math>P</math>인 동심원 다발이라면, <math>\mathcal C^\perp</math>는 교점이 <math>P</math>인 공점선 다발이다.

=== 반전에 대한 상 ===
원에 대한 [[반전 (기하학)|반전]]에 대한 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발의 상은 역시 타원형·포물형·쌍곡형 동축원 다발이다. 타원형 동축원 다발의 중심이 한 기저점인 원에 대한 반전을 가하면 교점이 다른 한 기저점의 상인 공점선 다발을 얻는다. 포물형 동축원 다발에 중심이 다발의 중심인 원에 대한 반전을 가하면 다발의 근축에 평행하는 평행선 다발을 얻는다. 쌍곡형 동축원 다발에 중심이 한 극한점을 중심으로 하는 원에 대한 반전을 가하면 중심이 다른 한 극한점의 상인 동심원 다발을 얻는다. 동축원 다발 속 임의의 원은 직교 동축원 다발 속 임의의 원에 대한 반전에 대하여 불변이며, 특히 이러한 반전에 대한 동축원 다발의 상은 자기 자신이다.

=== 입체 사영에 대한 상 ===
동축원 다발은 [[입체 사영]]을 통해 [[공선면]] 다발과 일대일 대응한다. 구체적으로, 공간 <math>\mathbb R^3</math> 속 [[단위구]]
:<math>\mathbb S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb R^3\colon x^2+y^2+z^2=1\}</math>
와 평면 <math>z=0</math> 사이의, 북극 <math>(0,0,1)</math>에 대한 입체 사영
:<math>\varphi\colon\mathbb S^2\to\mathbb R^2\sqcup\{\widehat\infty\}</math>
:<math>\varphi\colon(x,y,z)\mapsto\left(\frac x{1-z},\frac y{1-z}\right)\qquad((x,y,z)\in\mathbb S^2)</math>
를 생각하자. 평면 <math>z=0</math> 속 두 원 <math>\Gamma,\Gamma'</math>의 [[원상]] <math>\varphi^{-1}(\Gamma),\varphi^{-1}(\Gamma')</math>은 다음과 같은 방정식을 갖는 평면이다.
:<math>-2bx-2cy+(a-d)z+(a+d)=0</math>
:<math>-2b'x-2c'y+(a'-d')z+(a'+d')=0</math>
이 두 평면 <math>\varphi^{-1}(\Gamma),\varphi^{-1}(\Gamma')</math>은 단위구 <math>\mathbb S^2</math>와 원을 교선으로 갖거나, 접하거나, 만나지 않을 수 있다. 즉, 만약 <math>\Gamma</math>가 실원 또는 유한 직선이라면 <math>\varphi^{-1}(\Gamma)</math>는 <math>\mathbb S^2</math>의 실원이고, 점원 또는 무한원 직선이라면 <math>\varphi^{-1}(\Gamma)</math>는 점원이며, 허원이라면 <math>\varphi^{-1}(\Gamma)</math> 역시 <math>\mathbb S^2</math> 허원이다. 특히 만약 <math>\Gamma</math>가 [[단위 허원]]이라면 <math>\varphi^{-1}(\Gamma)</math>는 [[무한원 평면]]이다. 마찬가지로 만약 <math>\Gamma'</math>이 실원 또는 유한 직선, 점원 또는 무한원 직선, 허원이라면 <math>\varphi^{-1}(\Gamma')</math>은 각각 <math>\mathbb S^2</math>의 실원·점원·허원이며, 특히 만약 단위 허원이라면 <math>\varphi^{-1}(\Gamma')</math>은 무한원 평면이다.

동축원 다발 <math>\mathcal C=(\lambda\Gamma+\lambda'\Gamma')_{(\lambda,\lambda')}</math>은 교선이 <math>\varphi^{-1}(\Gamma)\cap\varphi^{-1}(\Gamma')</math>인 공선면 다발 
:<math>\varphi^{-1}(\mathcal C)=(\lambda\varphi^{-1}(\Gamma)+\lambda'\varphi^{-1}(\Gamma'))_{(\lambda,\lambda')}</math>
과 일대일 대응한다. 만약 <math>\varphi^{-1}(\mathcal C)</math>의 교선이 단위구 <math>\mathbb S^2</math>와 서로 다른 두 점 <math>P,Q</math>에서 만난다면, <math>\mathcal C</math>는 기저점이 <math>\varphi^{-1}(P),\varphi^{-1}(Q)</math>인 타원형 동축원 다발이다. 특히, 만약 한 교점이 북극 <math>Q=(0,0,1)</math>이라면, <math>\mathcal C</math>는 교점이 <math>\varphi^{-1}(P)</math>인 공점선 다발이다. 만약 <math>\varphi^{-1}(\mathcal C)</math>의 교선이 단위구 <math>\mathbb S^2</math>에 점 <math>P</math>에서 접한다면, <math>\mathcal C</math>는 중심이 <math>\varphi^{-1}(P)</math>이고 근축이 <math>\varphi^{-1}(\mathcal C)</math>의 교선과 평면 <math>z=0</math>의 교점과 <math>\varphi^{-1}(P)</math>를 잇는 직선인 포물형 동축원 다발이다. 특히, 만약 접점이 북극 <math>P=(0,0,1)</math>이라면, <math>\mathcal C</math>는 <math>\varphi^{-1}(\mathcal C)</math>의 교선에 평행하는 평행선 다발이다. 만약 <math>\varphi^{-1}(\mathcal C)</math>의 교선이 단위구 <math>\mathbb S^2</math>와 만나지 않는다면, <math>\mathcal C</math>는 <math>\varphi^{-1}(\mathcal C)</math>의 단위구 <math>\mathbb S^2</math>에 접하는 두 원소의 두 접점 <math>P,Q</math>에 대한 원상 <math>\varphi^{-1}(P),\varphi^{-1}(Q)</math>를 극한점으로 하는 쌍곡형 동축원 다발이다. 특히 만약 두 접점 가운데 하나가 북극 <math>Q=(0,0,1)</math>이라면, <math>\mathcal C</math>는 중심이 <math>\varphi^{-1}(P)</math>인 동심원 다발이다.

서로 직교하는 두 동축원 다발 <math>\mathcal C,\mathcal C^\perp</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, <math>\varphi^{-1}(\mathcal C^\perp)</math>의 원소들의 [[극 (기하학)|극]]은 모두 <math>\varphi^{-1}(\mathcal C)</math>의 교선 위의 점이며, <math>\varphi^{-1}(\mathcal C)</math>의 원소들의 극은 모두 <math>\varphi^{-1}(\mathcal C^\perp)</math>의 교선 위의 점이다. 특히, 만약 <math>\mathcal C</math>가 쌍곡형 동축원 다발일 경우, <math>\varphi^{-1}(\mathcal C^\perp)</math>의 교선은 <math>\varphi^{-1}(\mathcal C)</math>의 원소와 <math>\mathbb S^2</math>의 두 접점을 잇는 직선이다. 또한 만약 <math>\mathcal C</math>가 포물형 동축원 다발일 경우 <math>\varphi^{-1}(\mathcal C^\perp)</math>의 교선은 <math>\varphi^{-1}(\mathcal C)</math>의 교선과 같은 접점에서 이와 수직인 접선이다.

== 같이 보기 ==
* [[근축#동축원 다발]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=CoaxalCircles|title=Coaxal circles}}

[[분류:원 (기하학)]]
[[분류:해석기하학]]
[[분류:반전기하학]]