동차좌표 문서 원본 보기

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[[사영기하학]]에서 '''동차좌표'''(同次座標, {{llang|en|homogeneous coordinates}})는 <math>n</math>차원 [[사영 공간]]을 <math>n+1</math>개의 [[좌표]]로 나타내는 [[좌표계]]다.

== 정의 ==
<math>n</math>차원 [[사영 공간]]은 다음과 같이 정의할 수 있다. <math>X</math>가 [[실수]], [[복소수]], 또는 [[사원수]]의 대수라고 하고, <math>(n+1)</math>개의 수의 [[순서쌍]]의 집합 <math>X^{n+1}</math>에 다음과 같은 [[동치관계]]를 주자.
:<math>(x_0,x_1,\dots,x_n)\sim(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)</math> (<math>0\ne \lambda\in X</math>)
그렇다면 <math>n</math>차원 [[사영 공간]] <math>XP^n</math>을 [[몫공간]]으로 정의할 수 있다.
:<math>XP^n\cong(X^{n+1}\setminus0)/{\sim}</math>
이 경우, <math>(x_0,x_1,\dots,x_n)</math>을 <math>XP^n</math>의 '''동차좌표'''라고 한다.

== 성질 ==
동차좌표는 유일하지 않다. 즉, <math>(x_0,x_1,\dots,x_n)</math>과 <math>(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)</math>은 사영 공간에서 같은 점을 나타낸다. 다음과 같이
:<math>t_i=x_n/x_0</math> (<math>1\le i\le n</math>)
을 정의하여 <math>n</math>차원 사영 공간을 <math>n</math>개의 좌표로 나타내려 할 수 있지만, 이 경우 <math>x_0=0</math>인 점들을 나타내지 못한다.

동차좌표는 유일하지 않으므로, 사영 공간 위에 <math>f(x_0,x_1,\dots,x_n)=0</math>과 같은 곡면을 정의하려면, <math>f</math>는 같은 점을 나타내는 동차좌표들에 대하여 다음을 만족하여야 한다.
* <math>f(x_0,x_1,\dots,x_n)=0</math>이라면, 모든 <math>\lambda\ne0</math>에 대하여 <math>f(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)=0</math>
* <math>f(x_0,x_1,\dots,x_n)\ne0</math>이라면, 모든 <math>\lambda\ne0</math>에 대하여 <math>f(\lambda x_0,\lambda x_1,\dots,\lambda x_n)\ne 0</math>
만약 <math>f</math>가 [[다항식|다항함수]]라면, <math>f</math>는 [[동차다항식]]이어야 한다. 즉, 예를 들어
:<math>f_1(x_0,x_1)=x_0^3+3x_0^2x_1-x_0x_1^2+2x_1^3</math>
는 동차다항식이므로 사영 공간 위에 곡면 <math>f_1=0</math>을 정의할 수 있지만,
:<math>f_2(x_0,x_1)=x_0^2+3x_0^2x_1-x_0x_1^2+2x_1^3</math>
는 동차다항식이 아니므로 곡면 <math>f_2=0</math>을 정의할 수 없다.

== 역사 ==
[[아우구스트 페르디난트 뫼비우스]]가 1827년에 도입하였다.<ref>{{MacTutor|id=Mobius|title=August Ferdinand Möbius|date=1997-01}}</ref><ref>{{서적 인용|이름=August Ferdinand|성=Möbius|저자링크=아우구스트 페르디난트 뫼비우스|제목=Der barycentrische Calcul, ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie dargestellt und insbesondere auf die Bildung neuer Classen von Aufgaben und die Entwickelung mehrerer Eigenschaften der Kegelschnitte angewendet|언어=de|url=http://books.google.com?id=eFPluv_UqFEC|날짜=1827|위치=[[라이프치히|Leipzig]]|출판사=Verlag von Johann Ambrosius Barth}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:사영기하학]]
[[분류:선형대수학]]
[[분류:1827년 과학]]