동등 연속 함수족 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[해석학 (수학)|해석학]]에서 '''동등 연속 함수족'''(同等連續函數族, {{llang|en|equicontinuous family of functions}})은 정의역의 값이 작게 변화하면, 치역의 값이 함수족의 모든 원소에 대하여 같은 유계를 가질 정도로 작게 변화하는 함수족이다.

== 정의 ==
=== 동등 연속 함수족 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>
* [[균등 공간]] <math>(Y,\mathcal E_Y)</math>
* <math>X</math>에서 <math>Y</math>로 가는 함수족 <math>\mathcal F</math>
* <math>x\in X</math>
임의의 [[측근 (수학)|측근]] <math>\epsilon\in\mathcal E_Y</math>에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [[근방]] <math>U\ni x</math>가 존재한다면, <math>\mathcal F</math>가 '''<math>x</math>에서 동등 연속 함수족'''({{llang|en|family of functions equicontinuous at <math>x</math>}})이라고 한다.<ref name="Bourbaki">{{서적 인용|이름=Nicolas|성=Bourbaki|저자링크=니콜라 부르바키|제목=Topologie générale. Chapitres 5 à 10|총서=Éléments de mathématique|doi=10.1007/978-3-540-34486-5|출판사=Hermann|날짜=1974|언어=fr}}</ref>{{rp|TG X.10, Définition X.2.1}}
* 임의의 <math>f\in\mathcal F</math> 및 <math>x'\in U</math>에 대하여, <math>f(x)\approx_\epsilon f(x')</math>
모든 점에서 동등 연속인 함수족을 '''동등 연속 함수족'''이라고 한다.

=== 균등 동등 연속 함수족 ===
마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[균등 공간]] <math>(X,\mathcal E_X)</math>
* [[균등 공간]] <math>(Y,\mathcal E_Y)</math>
* <math>X</math>에서 <math>Y</math>로 가는 함수족 <math>\mathcal F</math>
임의의 [[측근 (수학)|측근]] <math>\epsilon\in\mathcal E_Y</math>에 대하여 다음 조건을 만족시키는 [[측근 (수학)|측근]] <math>\delta\in\mathcal E_X</math>가 존재한다면, <math>\mathcal F</math>가 '''균등 동등 연속 함수족'''(均等同等連續函數族, {{llang|en|uniformly equicontinuous family of functions}})이라고 한다.<ref name="Bourbaki" />{{rp|TG X.11, Définition X.2.2}}
* 임의의 <math>f\in\mathcal F</math> 및 <math>x,x'\in X</math>에 대하여, 만약 <math>x\approx_\delta x'</math>이라면 <math>f(x)\approx_\epsilon f(x')</math>이다.

여기서 <math>x\approx_\delta x_0</math>는 <math>(x,x_0)\in\delta\in\mathcal E_X</math>인 것이다. 만약 <math>X</math>의 균등 구조가 [[거리 함수]]로부터 유도된다면, 이는 <math>\delta</math>를 어떤 양의 실수로 생각하며, <math>d_X(x,x_0)<\delta</math>로 해석해도 좋다. (<math>f(x)\approx_\epsilon f(x_0)</math> 또한 마찬가지다.)

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
두 [[균등 공간]] <math>(X,\mathcal E_X)</math>, <math>(Y,\mathcal E_Y)</math> 사이의 함수족 <math>\mathcal F</math>에 대하여 다음과 같은 네 조건들을 정의할 수 있다.
{| class=wikitable
|-
! 개념 !! <math>\delta</math>가 <math>\epsilon</math>에 의존? !! <math>\delta</math>가 <math>f</math>에 의존? !! <math>\delta</math>가 <math>x</math>에 의존?  !! 정의
|-
| [[연속 함수]]족 || 예 || 예 || 예 || <math>\forall\epsilon\in\mathcal E_Y\forall f\in\mathcal F\forall x\in X\exists\delta\in\mathcal E_X{\color{White}\forall f\in\mathcal F\forall x\in X}\forall x'\in X\colon(x\approx_\delta x'\implies f(x)\approx_\epsilon f(x'))</math>
|-
| [[균등 연속 함수]]족 || 예 || 예 || 아니오 || <math>\forall\epsilon\in\mathcal E_Y\forall f\in\mathcal F{\color{White}\forall x\in X}\exists\delta\in\mathcal E_X{\color{White}\forall f\in\mathcal F}\forall x\in X\forall x'\in X\colon(x\approx_\delta x'\implies f(x)\approx_\epsilon f(x'))</math>
|-
| 동등 연속 함수족 || 예 || 아니오 || 예 || <math>\forall\epsilon\in\mathcal E_Y{\color{White}\forall f\in\mathcal F}\forall x\in X\exists\delta\in\mathcal E_X\forall f\in\mathcal F{\color{White}\forall x\in X}\forall x'\in X\colon(x\approx_\delta x'\implies f(x)\approx_\epsilon f(x'))</math>
|-
| 균등 동등 연속 함수족 || 예 || 아니오 || 아니오 || <math>\forall\epsilon\in\mathcal E_Y{\color{White}\forall f\in\mathcal F\forall x\in X}\exists\delta\in\mathcal E_X\forall f\in\mathcal F\forall x\in X\forall x'\in X\colon(x\approx_\delta x'\implies f(x)\approx_\epsilon f(x'))</math>
|}
여기서
* '''[[연속 함수]]족'''({{llang|en|family of continuous functions}})은 단순히 ([[균등 공간]] 위상에 대하여) 모든 원소가 [[연속 함수]]인 함수족이다.
* '''[[균등 연속 함수]]족'''({{llang|en|family of uniformly continuous functions}})은 단순히 모든 원소가 [[균등 연속 함수]]인 함수족이다.

그렇다면, 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
{| style="text-align: center"
| 균등 동등 연속 함수족 || ⇒ || 동등 연속 함수족
|-
| ⇓ || || ⇓
|-
| [[균등 연속 함수]]족 || ⇒ || [[연속 함수]]족
|}

=== 아르첼라-아스콜리 정리 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[하우스도르프 공간]] <math>X</math>
* [[균등 공간]] <math>(Y,\mathcal E_Y)</math>
* 연속 함수족 <math>\mathcal F\subseteq Y^X</math>
그렇다면, 함수 집합 <math>Y^X</math> 위에 [[균등 수렴 위상]]을 부여하여 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] 및 [[균등 공간]]으로 만들 수 있다.

'''아르첼라-아스콜리 정리'''({{llang|en|Arzelà–Ascoli theorem}})에 따르면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Bourbaki"/>{{rp|TG X.17, Théorème X.2.2}}
* <math>\mathcal F\subseteq Y^X</math>가 ([[균등 수렴 위상]]에 대하여) [[콤팩트 집합]]이다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
** <math>\mathcal F</math>는 동등 연속 함수족이다.
** 모든 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{f(x)\colon f\in\mathcal F\}\subseteq Y</math>는 [[콤팩트 집합]]이다.

마찬가지로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[콤팩트 공간|콤팩트]] [[균등 공간]] <math>X</math>
* [[균등 공간]] <math>(Y,\mathcal E_Y)</math>
* [[균등 연속 함수]]족 <math>\mathcal F\subseteq Y^X</math>
그렇다면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Bourbaki"/>{{rp|TG X.17, Théorème X.2.2}}
* <math>\mathcal F\subseteq Y^X</math>가 ([[균등 수렴 위상]]에 대하여) [[콤팩트 집합]]이다.
* 다음 두 조건이 성립한다.
** <math>\mathcal F</math>는 균등 동등 연속 함수족이다.
** 모든 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{f(x)\colon f\in\mathcal F\}\subseteq Y</math>는 [[콤팩트 집합]]이다.

== 예 ==
다음과 같은 함수열을 생각하자.
:<math>\{x\mapsto\arctan nx\colon n\in\mathbb N\}\subseteq \mathbb R^\mathbb R</math>
이는 <math>x=0</math>에서 동등 연속 함수족이 아니다. 이는 <math>x=0</math>에서 기울기들의 열 <math>\{d\arctan(nx)/dx|_{x=0}=n\}_{n\in\mathbb N}</math>이 발산하기 때문이다.

== 역사 ==
동등 연속 함수족의 개념과 아르첼라-아스콜리 정리는 19세기 말의 이탈리아 수학자 줄리오 아스콜리({{llang|it|Giulio Ascoli}}, 1843~1896)<ref>{{저널 인용|이름=Giulio|성=Ascoli|제목=Le curve limite di una varietà data di curve|저널=Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti|권=18|날짜=1883|쪽=521–586|언어=it}}</ref>와 체사레 아르첼라({{llang|it|Cesare Arzelà}}, 1847~1912)<ref>{{저널 인용|이름=Cesare|성=Arzelà|제목=Un’ osservazione intorno alle Serie di funzioni|저널=Memorie della Reale Accademia delle Scienze dell’Istituto di Bologna|권=5|날짜=1893|쪽=142–159|언어=it}}</ref>가 도입하였다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Equicontinuity}}
* {{eom|title=Arzelà-Ascoli theorem}}
* {{eom|title=Quasi-uniform convergence}}
* {{매스월드|id=Equicontinuous|title=Equicontinuous}}
* {{nlab|id=equicontinuous family of functions|title=Equicontinuous family of functions}}
* {{웹 인용|url=https://terrytao.wordpress.com/2009/02/09/245b-notes-10-compactness-in-topological-spaces/|제목=245B, Notes 10: Compactness in topological spaces|이름=Terrence|성=Tao|저자링크=테런스 타오|웹사이트=What’s New|날짜=2009-02-09|언어=en}}

[[분류:연속 함수]]