동등자 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''동등자'''(同等子, {{llang|en|equalizer}})는 여러 함수들이 같은 값을 갖게 되는, 정의역의 부분집합이다.

== 정의 ==
=== 집합의 범주에서의 정의 ===
[[집합]] <math>X,Y</math> 및 <math>X</math>에서 <math>Y</math>로 가는 함수들의 집합 <math>\mathcal F\subset Y^X</math>이 주어졌다고 하자. <math>\mathcal F</math>의 '''동등자''' <math>\operatorname{Eq}(\mathcal F)</math>는 다음과 같은 집합이다.
:<math>\operatorname{Eq}(\mathcal F)=\{x\in X|f(x)=g(x)\forall f,g\in\mathcal F\}</math>
자명한 경우로, <math>\mathcal F=\varnothing</math>인 경우 <math>\operatorname{Eq}(\varnothing)=X</math>이며, <math>\mathcal F=\{f\}</math>로 하나의 원소만을 갖는 경우 역시 <math>\operatorname{Eq}(\{f\})=X</math>이다.

=== 일반적 범주에서의 정의 ===
[[범주 (수학)|범주]] <math>\mathcal C</math>에서, 대상 <math>X,Y\in\mathcal C</math> 및 사상 모임의 부분집합 <math>\mathcal F\subset\hom(X,Y)</math>이 주어졌다고 하자. <math>\mathcal F</math>의 '''동등자''' <math>(E,\operatorname{eq})</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* <math>E</math>는 <math>\mathcal C</math>의 대상이다.
* <math>\operatorname{eq}\in\hom_{\mathcal C}(E,X)</math>는 <math>\mathcal C</math>의 사상이며, 모든 <math>f,g\in\mathcal F</math>에 대하여 <math>f\circ\operatorname{eq}=g\circ\operatorname{eq}</math>이다.
이는 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시켜야 한다.
* 만약 <math>m\colon O\to X</math>가 임의의 <math>f,g\in\mathcal F</math>에 대하여 <math>f\circ m=g\circ m</math>을 만족시킨다면, <math>\operatorname{eq}\circ u=m</math>인 유일한 사상 <math>u\colon O\to E</math>가 존재한다.
:[[파일:Equalizer-01.svg|200px]]
이는 [[극한 (범주론)|극한]]의 간단한 예이며, 이 경우 지표 범주 <math>J</math>는 두 개의 대상 <math>X,Y</math> 및 사상 집합 <math>\hom_J(X,Y)=\mathcal F</math>를 가진다.

주어진 범주에서 동등자는 존재하지 않을 수 있다. 다만, 만약 <math>\mathcal F</math>가 공집합이거나 하나의 원소만을 갖는 경우 동등자는 항상 존재하며, 이 경우 <math>(E,\operatorname{eq})=(X,\operatorname{id}_X)</math>이다.

만약 범주 <math>\mathcal C</math>가 [[곱 (범주론)|곱]] 및 [[당김 (범주론)|당김]]을 갖는다면, 항상 동등자를 갖는다. 구체적으로, 다음과 같은 사상을 생각하자.
:<math>\operatorname{diag}_Y=(\operatorname{id}_Y,\operatorname{id}_Y)\colon Y\to Y\times Y</math>
:<math>(f,g)\colon X\to Y\times Y</math>
그렇다면, 이에 대한 당김
:<math>X\times_{Y\times Y}Y</math>
을 정의할 수 있으며, 이는 <math>f</math>와 <math>g</math>의 동등자와 같다. 동등자 사상은 당김의 표준 사영
:<math>\pi_X\colon X\times_{Y\times Y}Y\to X</math>
에 의하여 주어진다.

== 같이 보기 ==
* [[당김 (범주론)]]

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/equalizer|제목=Equalizer|웹사이트=nLab|언어=en}}
* {{eom|title=Kernel of a morphism in a category}}
* {{웹 인용|url=https://math.stackexchange.com/questions/308391/products-and-pullbacks-imply-equalizers|제목=Products and pullbacks imply equalizers?|출판사=StackExchange|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:극한 (범주론)]]