도다 격자 문서 원본 보기

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[[응집물질물리학]]에서 '''도다 격자'''({{llang|en|Toda lattice}})는 1차원 결정을 나타내는 모형이다. [[적분가능계]]의 대표적인 예로, [[솔리톤]]을 가진다.

== 역사 ==
도다 모리카즈({{llang|ja|戸田 盛和}})가 1967년 도입하였다.<ref>{{저널 인용|first=Morikazu|last= Toda|title=Vibration of a chain with a non-linear interaction|journal= Journal of the Physical Society of Japan |volume= 22 |year=1967|pages= 431–436|doi=10.1143/JPSJ.22.431}}</ref>

== 정의 ==
'''도다 격자'''는 1차원 입자들의 사슬로 구성된다. 각 입자의 위치를 <math>q_i</math>라고 하자. 서로 이웃하는 두 입자 사이의 상호작용은 다음과 같다.
:<math>\ddot q_i=\exp(q_{i-1}-q_i)-\exp(q_i-q_{i+1})</math>

도다 격자는 '''플라슈카 변수'''({{llang|en|Flaschka variable}})을 사용하여 간단히 풀 수 있다.
:<math>a_i=\frac12\exp((q_i-q_{i+1})/2)</math>
:<math>b_i=-\dot q_i/2</math>
그렇다면 운동 방정식은 다음과 같다.
:<math>\dot a_i=a_i(b_{i+1}-b_i)</math>
:<math>\dot b_i=2(a_i^2-a_{i-1}^2)</math>
따라서 다음과 같은 [[럭스 쌍]] <math>(L,P)</math>가 존재한다. 이들은 [[힐베르트 공간]] <math>L^2(\mathbb Z)</math> 위의 [[선형작용소]]이다.
:<math>(Lf)_i=a_if_{i+1}+a_{i-1}f_{i-1}+b_if_i</math>
:<math>(Pf)_i=a_if_{i+1}-a_{i-1}f_{i-1}</math>
이들은 럭스 방정식
:<math>\dot L=[P,L]</math>
을 만족시키므로, 도다 격자는 [[적분가능계]]이다. 도다 격자의 [[운동 상수]]들은 <math>L</math>의 [[고윳값]]들이다.

== 같이 보기 ==
* [[럭스 쌍]]
== 각주 ==
{{각주}}
*{{저널 인용|mr=2493113|last=Krüger|first=Helge|공저자=Gerald Teschl|title=Long-time asymptotics of the Toda lattice for decaying initial data revisited|journal=Rev. Math. Phys.|volume= 21 |year=2009|issue= 1|pages=  61-109|doi=10.1142/S0129055X0900358X}} 
*{{서적 인용|mr=1711536|title=Jacobi Operators and Completely Integrable Nonlinear Lattices
|first=Gerald|last=Teschl|publisher=Amer. Math. Soc.|location=Providence|year=2000|url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-jac/|isbn=0-8218-1940-2}}
*{{저널 인용|mr=1879178|last=Teschl|first= Gerald
|title=Almost everything you always wanted to know about the Toda equation
|journal=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |volume= 103 |year=2001|issue= 4|pages= 149–162|url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/articles/Toda.html}} 
*Integrable Hamiltonians with Exponential Potential, Eugene Gutkin, Physica 16D (1985)  398-404.
*{{서적 인용|mr=0971987|title=Theory of Nonlinear Lattices|first=Morikazu|last= Toda|edition=2|publisher=Springer|location=Berlin|year=1989|isbn=978-0-387-10224-5|doi=10.1007/978-3-642-83219-2}}

{{전거 통제}}

[[분류:응집물질물리학]]
[[분류:적분가능계]]