델 (연산자) 문서 원본 보기

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<div class="thumbinner" style="line-height: 700%;"><span style="font-size: 800%; vertical-align:-40%;"><math>\nabla</math></span>
<div class="thumbcaption">[[나블라 기호]]를<br />사용하여 표시하는<br />'''델 연산자'''</div>
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'''델 연산자'''는 [[벡터 미적분학]]에서 많이 쓰이는 연산자로써 [[나블라 기호]]로 표현하며 [[함수]]의 [[발산 (벡터)|발산]]이나 [[회전 (벡터)|회전]] 등을 나타내는데 사용된다. 어떤 [[함수]] <math>y=f\left( x\right)</math>를 [[미분]]할 때 [[미분]]을 하나의 과정으로 볼 수 있지만 하나의 연산, 즉 <math>y</math>를 <math>\frac{d}{dx}</math>라는 [[연산자]]를 사용하여 연산하는 방법으로 바라볼 수도 있다. 델 연산자는 미분 연산자와 마찬가지로 [[기울기 (벡터)|그래디언트]]를 하나의 [[연산자]]로 바라본 것이다.

== 수학적 정의 ==
3차원 공간 <math>\mathbb{R}^3</math>에서 '''델 연산자'''는 <math>\nabla =\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}</math>로 정의된다. 비슷한 방식으로 n차원 공간에서의 '''델 연산자'''는 다음과 같이 정의된다.
:<math>\nabla =\sum_{i=1}^{n}\mathbf{e}_i\frac{\partial}{\partial x_i}</math>
여기서 <math>\mathbf{e}_i</math>는 i번째 좌표만 1이고 나머지는 0으로 채워진 n차원의 [[기저 (선형대수학)#표준기저|표준기저]]를 의미한다.

== 그래디언트 ==
{{참고|기울기 (벡터)}}
'''델 연산자'''를 어떤 함수 <math>f:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}</math>에 적용시키자. 다시 말해서 <math>f</math>를 어떤 스칼라 함수라 하고, <math>\overrightarrow{A}=(A_x,A_y,A_z)</math>를 3차원 공간상의 어떤 벡터라 하자. 각각은 x,y,z 에 대한 함수다. 이 때, 4가지 연산의 정의는 이렇게 쓸 수가 있다.
:<math>\nabla f=\left(\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}\right) f=\mathbf{i}\frac{\partial f}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial f}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial f}{\partial z}</math>
이는 [[기울기 (벡터)|그래디언트]]의 정의와 같다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자를 이용하여 정의된다.

== 발산 ==
{{본문|발산 (벡터)}}
어떤 [[벡터장]] <math>\mathbf{F}:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math>의 '''발산''' 또는 '''다이버전스'''는 '''델 연산자'''와의 [[스칼라곱]]으로 정의된다.
:<math>\operatorname{div}\mathbf{F}=\nabla\cdot\mathbf{F}=\left(\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot\left( F_1\mathbf{i}+F_2\mathbf{j}+F_3\mathbf{k}\right) =\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}</math>
여기서 <math>F_1,~F_2,~F_3</math>는 [[벡터장]] <math>\mathbf{F}</math>의 성분 [[스칼라장]]들이다. 3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 델 연산자와 n차원 [[벡터장]]의 [[스칼라곱]]으로 정의된다.

== 회전 ==
{{본문|회전 (벡터)}}
어떤 [[벡터장]] <math>\mathbf{F}:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math>의 '''회전''' 또는 '''돌개'''는 '''델 연산자'''와의 [[벡터곱]]으로 정의된다.
:<math>\operatorname{curl}\mathbf{F}=\nabla\times\mathbf{F}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\F_1&F_2&F_3\end{vmatrix}=\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{k}</math>
여기서 <math>F_1,~F_2,~F_3</math>는 [[벡터장]] <math>\mathbf{F}</math>의 성분 [[스칼라장]]들이며 회전연산자의 결과 <math>\operatorname{curl}F</math> 또는 <math>\nabla\times F</math>는 같은 차원의 [[벡터장]]이다. 3차원이 아닌 공간에서는 정의되지 않지만 2차원 평면에서는 <math>\mathbf{k}</math>성분이 없는 3차원 [[벡터]]로 놓고 계산하는 경우도 있다.

== 라플라시안 ==
{{본문|라플라스 연산자}}
'''라플라시안''' 또는 '''라플라스 연산자''' <math>\nabla^2</math>은 [[기울기 (벡터)|그래디언트]]의 [[발산 (벡터)|발산]]으로 정의된다.
:<math>\nabla^2f=\nabla\cdot\left(\nabla f\right) =\left(\mathbf{i}\frac{\partial}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial}{\partial z}\right)\cdot\left(\mathbf{i}\frac{\partial f}{\partial x}+\mathbf{j}\frac{\partial f}{\partial y}+\mathbf{k}\frac{\partial f}{\partial z}\right) =\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2f}{\partial z^2}</math>
3차원이 아닌 공간에서도 비슷한 방식으로 n차원 [[기울기 (벡터)|그래디언트]]의 n차원 [[발산 (벡터)|발산]]으로 정의된다.

== 관련된 여러 성질들 ==
<math>c</math>는 상수이고 함수 <math>f,~g,~\mathbf{F},~\mathbf{G}</math>는 다음과 같이 정의된다. <math>f:A\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},~g:B\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R},~\mathbf{F}:C\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3,~\mathbf{G}:D\sub\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3</math>
# <math>\nabla\left( f+g\right) =\nabla f+\nabla g</math>
# <math>\nabla\left( cf\right) =c\nabla f</math>
# <math>\nabla\left( fg\right) =f\nabla g+g\nabla f</math>
# <math>g\left(\mathbf{x}\right)\ne 0</math>인 <math>\mathbf{x}</math>에 대해서 <math>\nabla\left(\frac{f}{g}\right) =\frac{g\nabla f-f\nabla g}{g^2}</math>
# <math>\nabla\cdot\left(\mathbf{F}+\mathbf{G}\right) =\nabla\cdot\mathbf{F}+\nabla\cdot\mathbf{G}</math>
# <math>\nabla\cdot\left( c\mathbf{F}\right) =c\nabla\cdot\mathbf{F}</math>
# <math>\nabla\cdot\left( f\mathbf{F}\right) =f\nabla\cdot\mathbf{F}+\mathbf{F}\cdot\nabla f</math>
# <math>\nabla\cdot\left(\nabla f\times\nabla g\right) =0</math>
# <math>\nabla\times\left(\mathbf{F}+\mathbf{G}\right) =\nabla\times\mathbf{F}+\nabla\times\mathbf{G}</math>
# <math>\nabla\times\left( c\mathbf{F}\right) =c\nabla\times\mathbf{F}</math>
# <math>\nabla\times\left( f\mathbf{F}\right) =f\nabla\times\mathbf{F}+\nabla f\times\mathbf{F}</math>
# <math>\nabla\times\nabla f=\mathbf{0}</math>
# <math>\nabla\cdot\nabla\times\mathbf{F}=0</math>
# <math>\nabla^2\left( fg\right) =f\nabla^2g+2\left(\nabla f\cdot\nabla g\right) +g\nabla^2f</math>
# <math>\nabla\cdot\left( f\nabla g-g\nabla f\right) =f\nabla^2g-g\nabla^2f</math>
1번과 2번 성질에 의하여 [[기울기 (벡터)|그래디언트]]가, 5번과 6번 성질에 의하여 [[발산 (벡터)|발산]]이, 9번과 10번 성질에 의하여 [[회전 (벡터)|회전]]이 [[선형변환]]임을 알 수 있다.

== 역사 ==
'''델 연산자'''는 [[윌리엄 로언 해밀턴]]이 [[사원수]]를 연구하면서 생각해낸 개념으로 그는 <math>\nabla =\frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k}</math>로 정의하였다. 만약 3차원 공간의 [[스칼라장]] <math>f</math>와 곱하면 <math>f</math>의 [[기울기 (벡터)|그래디언트]]를 얻을 수 있고 3차원 [[벡터장]]과 사원수 곱을 하면 [[스칼라]] 성분은 [[발산 (벡터)|발산]]의 음수, [[벡터]]성분은 [[회전 (벡터)|회전]]이다.(<math>\nabla\mathbf{V}=-\nabla\cdot\mathbf{V}+\nabla\times\mathbf{V}</math>, 여기서 <math>\nabla\mathbf{V}</math>는 [[기울기 (벡터)|그래디언트]]가 아니라 단순히 델과 '''V'''의 곱이다.) 그는 이러한 개념들에서 물리적 의미를 찾을 수는 없었지만 중요한 물리적 의미가 있을 것이라고 예상하고 있었다.

델 연산자와 [[발산 (벡터)|발산]], [[회전 (벡터)|회전]]의 물리적 의미를 처음으로 발견한 사람은 [[제임스 클러크 맥스웰]]이다. [[제임스 클러크 맥스웰|맥스웰]]은 그의 논문 <<전기와 자기에 관한 논문>>에서는 [[발산 (벡터)|발산]]과 [[회전 (벡터)|회전]]을 각각 그 당시 많이 사용되던 단어인 컨버전스(convergence)와 로테이션(rotation)이라 이름 붙이고 [[전기장]]과 [[자기장]] 사이의 상호작용을 설명하였다. 그는 [[발산 (벡터)|발산]]의 물리적 의미를 [[발산정리|가우스의 발산정리]]를 이용하여 설명하였으나 [[회전 (벡터)|회전]]의 경우 깊은 물리적 의미를 찾지는 못하였다.

지금의 이름인 ‘[[발산 (벡터)|발산]]({{llang|en|divergence}})’과 ‘[[회전 (벡터)|회전]]({{llang|en|curl}})’을 붙인 것은 [[조사이어 윌러드 기브스]]이다. 그는 [[제임스 클러크 맥스웰|맥스웰]]보다 [[발산 (벡터)|발산]]과 [[회전 (벡터)|회전]]의 훨씬 더 근본적인 물리적 의미를 찾아냈다. 그가 찾아낸 [[발산 (벡터)|발산]]의 의미는 공간에서 유체의 속도벡터와 공간 상의 어느 한 점에서 유체가 빠져나가는 속도를 잇는 연산자였고, [[회전 (벡터)|회전]]의 의미는 어떤 강체 각 지점의 속도 벡터와 강체의 각속도를 연결짓는 연산자였다.

== 같이 보기 ==
* [[맥스웰 방정식]]
* [[나비에-스토크스 방정식]]
== 참고 문헌 ==
{{서적 인용 |isbn=0-7167-4992-0 |제목=Vector Calculus(Fifth Edition) |저자=Jerrold E. Marsden, Anthony J. Tromba |출판사=W. H. Freeman and Company |연도=2003}}

== 외부 링크 ==
* {{언어링크|en}} [http://hdl.handle.net/2027.42/7869 A survey of the improper use of ∇ in vector analysis] (1994) Tai, Chen

[[분류:미적분학]]
[[분류:벡터 미적분학]]
[[분류:수학 표기법]]
[[분류:미분 연산자]]