데데킨트 에타 함수 문서 원본 보기

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[[파일:Dedekind Eta.jpg|섬네일|500px|right|데데킨트 에타 함수의 그래프]]
[[수학]]에서 '''데데킨트 에타 함수'''({{lang|en|Dedekind eta function}})은 [[복소평면]]의 열린 [[상반평면]] 위에 정의된, [[원환체|원환면]]의 [[모듈러 군]] 대칭을 따르는 [[정칙함수]]다. [[리하르트 데데킨트]]의 이름을 땄다. 기호는 그리스 [[대소문자|소문자]] 에타<math>\;\; \eta(\tau)</math>

== 정의 ==
[[열린 상반평면]]을 <math>\mathbb H</math>라고 쓰자. '''데데킨트 에타 함수''' <math>\eta\colon\mathbb H\to\mathbb C</math>는 다음과 같은 함수이다.
:<math>\eta(\tau)=\exp(\pi i\tau/12)\prod_{n=1}^\infty\left(1-\exp(2n\pi i\tau)\right)</math>.
보통 <math>q(\tau)=\exp(2\pi i\tau)</math>를 정의한다. 그렇다면 에타 함수의 정의는 다음과 같이 더 간단해진다.
:<math>\eta(\tau)=q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty(1-q^n)</math>.

== 성질 ==
데데킨트 에타 함수는 열린 상반평면 위에서 [[정칙함수]]이나, 복소 평면 전체로 [[해석적 연속]]할 수 없다.

=== 함수 방정식 ===
데데킨트 에타 함수는 무게(weight)가 ½이고 준위(level)가 1인 [[모듈러 형식]]이다. 즉, [[모듈러 군]] <math>\Gamma_0(1)</math>에 대하여 무게 ½로 변환한다. 즉, 데데킨트 에타 함수는 구체적으로 다음과 같은 항등식을 만족한다.<ref>{{저널 인용|저널=Mathematika|권=1|호=1|월=6|연도=1954|쪽=4–4|doi=10.1112/S0025579300000462|제목=A simple proof of <math>\eta(-1/\tau)=\eta(\tau)\sqrt{\tau/i}</math>|이름=Carl Ludwig|성=Siegel|저자링크=카를 루트비히 지겔}}</ref>
:<math>\eta(\tau+1) =\exp(\pi i/12)\eta(\tau)</math>
:<math>\eta(-1/\tau) = \sqrt{-i\tau}\eta(\tau)</math>.
보다 일반적으로, 임의의 [[뫼비우스 변환]]
:<math>\tau\mapsto\frac{a\tau+b}{c\tau+d}</math> (<math>ad-bc=1</math>, <math>c\ge0</math>)
에 대하여, 데데킨트 에타 함수는 다음과 같은 성질을 만족한다.
:<math>\eta \left( \frac{a\tau+b}{c\tau+d} \right) = 
\epsilon (a,b,c,d) (c\tau+d)^{\frac{1}{2}} \eta(\tau)</math>.
여기서
:<math>\epsilon (a,b,c,d)=\exp(i\pi b/12)</math> (<math>c=0,d=1</math>인 경우)
:<math>\epsilon (a,b,c,d)=\exp\left(i\pi\left((a+d)/(12c) - s(d,c)-1/4\right)\right)</math> (<math>c>0</math>인 경우)
여기서
:<math>s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k}
\left( \frac{hn}{k} - \left\lfloor \frac{hn}{k} \right\rfloor -\frac{1}{2} \right)</math>
를 '''데데킨트 합'''({{lang|en|Dedekind sum}})이라고 한다.

=== 특별한 값 ===
함수 [[방정식]] 등을 사용하여, 다음과 같은 특별한 값들을 계산할 수 있다.
:<math>\eta(i)=\frac{\Gamma(1/4)}{2 \pi ^{3/4}}</math>
: <math>\eta(i/2)=\frac{\Gamma(1/4)}{2^{7/8} \pi ^{3/4}}</math>
: <math>\eta(2i)=\frac{\Gamma(1/4)}{2^{{11}/8} \pi ^{3/4}}</math>
: <math>\eta(4i)=\frac{\sqrt[4]{-1+\sqrt{2}}\Gamma(1/4)}{2^{{29}/16} \pi ^{3/4}}</math>
여기서 <math>\Gamma(1/4)\approx3.626</math>는 [[감마 함수]]이다.

== 같이 보기 ==
* [[데데킨트 제타 함수]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Eta products and theta series identities|이름=Günter|성=Köhler|issn=1439-7382|doi=10.1007/978-3-642-16152-0|isbn=978-3-642-16151-3|출판사=Springer|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=DedekindEtaFunction|title=Dedekind Eta Function}}
* {{수학노트|title=데데킨트 에타함수}}

[[분류:모듈러 형식]]
[[분류:타원함수]]
[[분류:프랙탈]]