데겐의 여덟 제곱수 항등식 문서 원본 보기

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'''데겐의 여덟 제곱수 항등식'''(Degen's eight-square identity, -數 恒等式)은 [[덴마크]] [[수학자]] [[페르디난 데겐]](Ferdinand Degen)의 이름이 붙은 [[항등식]]이다. 이하와 같은 구조를 갖고 있다:

:<math>(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2+a_6^2+a_7^2+a_8^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2+b_5^2+b_6^2+b_7^2+b_8^2)=\,</math>

::<math>(a_1b_1 - a_2b_2 - a_3b_3 - a_4b_4 - a_5b_5 - a_6b_6 - a_7b_7 - a_8b_8)^2+\,</math>

::<math>(a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_4 - a_4b_3 + a_5b_6 - a_6b_5 - a_7b_8 + a_8b_7)^2+\,</math>

::<math>(a_1b_3 - a_2b_4 + a_3b_1 + a_4b_2 + a_5b_7 + a_6b_8 - a_7b_5 - a_8b_6)^2+\,</math>

::<math>(a_1b_4 + a_2b_3 - a_3b_2 + a_4b_1 + a_5b_8 - a_6b_7 + a_7b_6 - a_8b_5)^2+\,</math>

::<math>(a_1b_5 - a_2b_6 - a_3b_7 - a_4b_8 + a_5b_1 + a_6b_2 + a_7b_3 + a_8b_4)^2+\,</math>

::<math>(a_1b_6 + a_2b_5 - a_3b_8 + a_4b_7 - a_5b_2 + a_6b_1 - a_7b_4 + a_8b_3)^2+\,</math>

::<math>(a_1b_7 + a_2b_8 + a_3b_5 - a_4b_6 - a_5b_3 + a_6b_4 + a_7b_1 - a_8b_2)^2+\,</math>

::<math>(a_1b_8 - a_2b_7 + a_3b_6 + a_4b_5 - a_5b_4 - a_6b_3 + a_7b_2 + a_8b_1)^2\,</math>

이 항등식은 네 제곱수의 경우에 관찰할 수 있는 [[오일러의 네 제곱수 항등식]], 즉,

:<math>(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\,</math>

::<math>(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 +\,</math>

::<math>(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2 +\,</math>

::<math>(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2)^2 +\,</math>

::<math>(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1)^2.\,</math>

을 일반화한 결과이다. 증명 자체는 단순한 식의 전개를 통해 할 수 있다. 이 항등식은 처음으로 [[1818년]] 무렵 데겐에 의해 발견되었으나, 이후 [[1843년]] [[존 토머스 그레이브스]](John Thomas Graves)와 [[1845년]] [[아서 케일리]]에 의해 [[팔원수]] 체계가 구성되면서 독립적으로 재발견되었다. 이 항등식은 팔원수 a, b의 [[노름]]에 대해 <math>\|ab\| = \|a\|\|b\|</math> 가 성립함을 의미하기 때문이다.

이보다 더 많은 수, 예컨대 16개의 수에 대해 유사한 항등식이 더 이상 성립하지 않는다는 것은 [[1898년]] [[아돌프 후르비츠]]에 의해 증명되었다.

== 같이 보기 ==
* [[팔원수]]
* [[사원수]]

== 외부 링크 ==
* [http://mathworld.wolfram.com/DegensEight-SquareIdentity.html Degen's eight-square identity] - [[매스월드]]
* [https://web.archive.org/web/20091022122426/http://geocities.com/titus_piezas/ramanujan_page8.html 데겐-그레이브스-케일리 여덟 제곱수 항등식]
* [http://sites.google.com/site/tpiezas/005b 대수적 항등식 모음] {{웹아카이브|url=https://web.archive.org/web/20120306122543/http://sites.google.com/site/tpiezas/005b}}

[[분류:대수학]]
[[분류:항등식]]
[[분류:해석적 수론]]