대칭 중선 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[파일:Lemoine punkt.svg|섬네일|대칭 중선과 대칭 중점]]
[[기하학]]에서 '''대칭 중선'''(對稱中線, {{llang|en|symmedian|시미디언}})은 주어진 [[삼각형]]의 각 꼭짓점을 지나는 [[중선]]을 같은 꼭짓점에서의 [[내각 이등분선]]에 대하여 [[반사 (기하학)|반사]]시켜 얻는 [[직선]]이다. 즉, 대칭 중선은 [[중선]]의 [[등각 켤레선]]이다. '''대칭 중점'''(對稱中點, {{llang|en|symmedian point}}) 또는 '''르무안 점'''({{llang|en|Lemoine point}}) 또는 '''그레베 점'''({{llang|en|Grebe point}})은 주어진 삼각형의 세 대칭 중선이 공통으로 지나는 점이다. 즉, 대칭 중점은 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]의 [[등각 켤레점]]이다.

== 정의 ==
삼각형 <math>ABC</math>의 '''대칭 중선'''은 [[중선]]의 [[등각 켤레선]]이다. 즉, 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>을 지나는 [[중선]]의, 내각 <math>\angle A</math>, <math>\angle B</math>, <math>\angle C</math>의 [[각의 이등분선|이등분선]]에 대한 [[반사 (기하학)|반사]]상이다. 삼각형 <math>ABC</math>의 '''대칭 중점''' <math>K</math>은 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]의 [[등각 켤레점]]이다. 즉, 세 대칭 중선의 교점이다.

== 성질 ==
[[직각 삼각형]]의 대칭 중점은 직각 꼭짓점을 지나는 빗변의 수선의 중점이다.<ref name="Honsberger">{{서적 인용
|성=Honsberger
|이름=Ross
|제목=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry
|언어=en
|총서=New Mathematical Library
|권=37
|출판사=The Mathematical Association of America
|위치=Washington
|날짜=1995
|isbn=0-88385-639-5
}}</ref>{{rp|59, §7.4, (i)}}

대칭 중점은 삼각형의 세 변과의 거리의 제곱의 합이 가장 작은 점이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|75, Exercise 7.3}} 삼각형 <math>ABC</math>의 세 변의 길이를 <math>a=BC</math>, <math>b=AC</math>, <math>c=AB</math>라고 하고, 넓이를 <math>S</math>라고 하고, [[브로카르 각]]을 <math>\omega</math>라고 하자. 그렇다면 대칭 중점 <math>K</math>와 세 변 <math>BC</math>, <math>AC</math>, <math>AB</math> 사이의 거리는 다음과 같다.<ref name="Johnson">{{서적 인용
|성=Johnson
|이름=Roger A.
|제목=Advanced Euclidean Geometry
|언어=en
|출판사=Dover Publications
|위치=New York, N. Y.
|날짜=1960
|원본연도=1929
}}</ref>{{rp|268, §[XVI.]438}}
:<math>d(K,BC)=\frac 12a\tan\omega=\frac{2aS}{a^2+b^2+c^2}</math>
:<math>d(K,AC)=\frac 12b\tan\omega=\frac{2bS}{a^2+b^2+c^2}</math>
:<math>d(K,AB)=\frac 12c\tan\omega=\frac{2cS}{a^2+b^2+c^2}</math>

삼각형 <math>ABC</math>의 대칭 중선 <math>AK_A</math>, <math>BK_B</math>, <math>CK_C</math>의 발을 <math>K_A</math>, <math>K_B</math>, <math>K_C</math>라고 하고, 대칭 중점을 <math>K</math>라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|76, Exercise 7.4}}
:<math>\frac{AK}{KK_A}=\frac{b^2+c^2}{a^2}</math>
:<math>\frac{BK}{KK_B}=\frac{a^2+c^2}{b^2}</math>
:<math>\frac{CK}{KK_C}=\frac{a^2+b^2}{c^2}</math>

삼각형 <math>ABC</math>의 각 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>을 지나는 대변의 수선의 발을 <math>H_A</math>, <math>H_B</math>, <math>H_C</math>라고 하자. 그렇다면 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>을 지나는 대칭 중선은 각각 [[수심 삼각형]]의 변 <math>H_BH_C</math>, <math>H_AH_C</math>, <math>H_AH_B</math>를 이등분한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|60, §7.4, (ii)}}

삼각형 <math>ABC</math>의 한 꼭짓점 <math>A</math>를 지나는 대칭 중선은 남은 두 꼭짓점 <math>B</math>, <math>C</math>에서의 [[외접원]]의 접선의 교점을 지난다.<ref name="Honsberger" />{{rp|60, §7.4, (iii)}} [[제르곤 삼각형]]의 대칭 중점은 [[제르곤 점]]이다. 이는 위 명제의 따름정리이다.
{{증명}}
외접원의 <math>B</math>, <math>C</math>에서의 접선의 교점을 <math>D</math>라고 하자. <math>D</math>를 중심으로 하고 <math>DB</math>를 반지름으로 하는 원이 <math>AB</math>, <math>AC</math>의 연장선과 각각 <math>E</math>, <math>F</math>에서 만난다고 하자. [[접현각]]의 크기는 [[원주각]]과 같으므로
:<math>\angle E=\angle DBE=\angle ACB</math>
:<math>\angle F=\angle DCF=\angle ABC</math>
이다. 또한 사각형 <math>AEDF</math>에서
:<math>\angle EDF=360^\circ-\angle A-\angle E-\angle F=180^\circ</math>
이므로 <math>E</math>, <math>D</math>, <math>F</math>는 공선점이다. 따라서 삼각형 <math>AEF</math>는 삼각형 <math>ACB</math>와 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 <math>AEF</math>를 <math>\angle A</math>의 이등분선에 대하여 반사시킨 뒤 다시 <math>A</math>를 중심으로 적절한 [[중심 닮음 변환]]을 가하면 삼각형 <math>ACB</math>를 얻는다. 이러한 변환은 [[닮음 변환]]이며, 특히 [[아핀 변환]]이므로 중점을 보존한다. <math>A</math>를 지나는 직선은 <math>A</math>를 중심으로 하는 중심 닮음 변환에 대하여 불변이므로 <math>AD</math>의 상은 자신의 등각 켤레선이다. <math>AD</math>는 삼각형 <math>AEF</math>의 중선이므로 <math>AD</math>의 등각 켤레선은 삼각형 <math>ACB</math>의 중선이다. 즉, <math>AD</math>는 삼각형 <math>ACB</math>의 대칭 중선이다.

삼각형 <math>ABC</math>의 내접원과 꼭짓점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>의 대변의 접점을 각각 <math>T_A</math>, <math>T_B</math>, <math>T_C</math>라고 하자. 그렇다면 삼각형 <math>ABC</math>의 [[내접원]]은 제르곤 삼각형 <math>T_AT_BT_C</math>의 외접원이다. 삼각형 <math>ABC</math>의 각 변은 삼각형 <math>T_AT_BT_C</math>의 외접원의 각 꼭짓점 <math>T_A</math>, <math>T_B</math>, <math>T_C</math>에서의 접선이며, 점 <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math>는 접선들의 교점이다. 따라서 직선 <math>T_AA</math>, <math>T_BB</math>, <math>T_CC</math>는 삼각형 <math>T_AT_BT_C</math>의 대칭 중선이며, 그 교점인 제르곤 점은 대칭 중점이다.
{{증명 끝}}

삼각형 <math>ABC</math>의 한 꼭짓점 <math>A</math>를 지나는 대변의 수선의 중점 <math>M</math>과 대변의 중점 <math>M_A</math>를 잇는 직선은 대칭 중점 <math>K</math>를 지난다.<ref name="Honsberger" />{{rp|65, §7.4, (vii)}}
{{증명}}
대칭 중점 <math>K</math>를 지나는 외접원의 꼭짓점 <math>B</math>에서의 접선의 평행선 <math>PQ</math>와 변 <math>AB</math>, <math>BC</math>의 교점을 각각 <math>P</math>, <math>Q</math>라고 하자. 대칭 중점 <math>K</math>를 지나는 외접원의 꼭짓점 <math>C</math>에서의 접선의 평행선 <math>RS</math>와 변 <math>AC</math>, <math>BC</math>의 교점을 각각 <math>R</math>, <math>S</math>라고 하자. 그렇다면 선분 <math>PQ</math>, <math>RS</math>는 제2 르무안 원의 두 지름이므로 사각형 <math>PRQS</math>는 직사각형이다. 직사각형의 변 <math>PS</math>, <math>QR</math>의 중점을 각각 <math>D</math>, <math>E</math>라고 하자. 그렇다면 <math>M</math>이 꼭짓점 <math>A</math>에서 내린 대변의 수선 <math>AH_A</math>의 중점이므로 <math>B</math>, <math>D</math>, <math>M</math>은 한 직선 위의 점이며, <math>C</math>, <math>E</math>, <math>M</math> 역시 한 직선 위의 점이다. 대칭 중점 <math>K</math>는 선분 <math>DE</math>의 중점이며 <math>M_A</math>는 선분 <math>BC</math>의 중점이므로 <math>M</math>, <math>K</math>, <math>M_A</math>는 한 직선 위의 점이다.
{{증명 끝}}

대칭 중점은 자기 자신의 [[수족 삼각형]]의 [[무게 중심 (기하학)|무게 중심]]이다.<ref name="Honsberger" />{{rp|72, §7.4, (x)}}

=== 르무안 원 ===
삼각형 <math>ABC</math>의 대칭 중점 <math>K</math>를 지나는 각 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 평행선 <math>ST</math>, <math>UP</math>, <math>QR</math>와 남은 두 변의 교점을 각각 <math>S</math>와 <math>T</math>, <math>U</math>와 <math>P</math>, <math>Q</math>와 <math>R</math>라고 하자. 그렇다면 6개의 점 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>, <math>S</math>, <math>T</math>, <math>U</math>는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 <math>K</math>와 외심 <math>O</math>를 잇는 선분 <math>KO</math>의 중점이다. 이 원을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''제1 르무안 원'''({{llang|en|first Lemoine circle}})이라고 한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|88, §9.2}}

마찬가지로, 삼각형 <math>ABC</math>의 대칭 중점 <math>K</math>를 지나는 각 변 <math>BC</math>, <math>CA</math>, <math>AB</math>의 평행선 <math>ST</math>, <math>UP</math>, <math>QR</math>와 남은 두 변의 교점을 각각 <math>S</math>와 <math>T</math>, <math>U</math>와 <math>P</math>, <math>Q</math>와 <math>R</math>라고 하자. 그렇다면 6개의 점 <math>P</math>, <math>Q</math>, <math>R</math>, <math>S</math>, <math>T</math>, <math>U</math>는 한 원 위의 점이며, 그 중심은 대칭 중점 <math>K</math>이다. 이 원을 삼각형 <math>ABC</math>의 '''제2 르무안 원'''({{llang|en|second Lemoine circle}})이라고 한다.<ref name="Honsberger" />{{rp|88, §9.2}}
{{증명}}
대칭 중선은 반평행선을 이등분하므로
:<math>SK=TK</math>
:<math>UK=PK</math>
:<math>QK=RK</math>
이다. 반평행선의 성질에 따라
:<math>\angle KPS=\angle ACB=\angle KSP</math>
:<math>\angle KQT=\angle CBA=\angle KTQ</math>
:<math>\angle KRU=\angle BAC=\angle KUR</math>
이므로
:<math>PK=SK</math>
:<math>QK=TK</math>
:<math>RK=UK</math>
이다.
{{증명 끝}}

제1·제2 르무안 원은 [[터커 원]]의 특수한 경우이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Symmedian|제목=Symmedian}}
* {{매스월드|id=SymmedianPoint|제목=Symmedian point}}
* {{매스월드|id=FirstLemoineCircle|제목=First Lemoine circle}}
* {{매스월드|id=LemoineHexagon|제목=Lemoine hexagon}}
* {{매스월드|id=CosineCircle|제목=Cosine circle}}
* {{매스월드|id=CosineHexagon|제목=Cosine hxagon}}

{{삼각형의 중심}}

[[분류:삼각 기하학]]