대칭 작용소 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[작용소 이론]]에서 '''대칭 작용소'''(對稱作用素, {{llang|en|symmetric operator}})는 스스로의 [[정의역]] 위에서, 스스로가 [[에르미트 수반]]과 일치하는 [[작용소]]이다.<ref name="Teschl">{{서적 인용 |이름=Gerald |성=Teschl |제목=Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators |출판사=American Mathematical Society |총서=Graduate Studies in Mathematics|권=99|날짜=2009 |url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ |zbl=1166.81004|mr=2499016|isbn=978-0-8218-4660-5|언어=en}}</ref> 유한 차원에서의 [[에르미트 행렬]]을 일반화한 개념이다. [[자기 수반 작용소]]의 개념과 달리, 그 [[정의역]]이 [[에르미트 수반]]의 [[정의역]]보다 더 작을 수 있다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math> ([[실수체]] 또는 [[복소수체]] 가운데 하나)
* <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>E</math>
* <math>E</math>의 [[조밀 집합|조밀]] 부분 벡터 공간 <math>\operatorname{dom}A</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]] <math>A\colon \operatorname{dom}A \to E^*</math>
만약 <math>A</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>A</math>를 '''대칭 작용소'''라고 한다.
:<math>\langle Ax|y\rangle = \overline{\langle Ay|x\rangle}\qquad\forall x,y\in\operatorname{dom}A</math>
여기서
* <math>E^*</math>는 <math>E</math>의 [[연속 쌍대 공간]]이다.
* <math>\bar{\color{White}a}\colon \mathbb K \to \mathbb K</math>는 <math>\mathbb K=\mathbb C</math>일 경우 [[복소켤레]]이며, <math>\mathbb K=\mathbb R</math>일 경우 [[항등 함수]]이다.
* <math>\langle|\rangle</math>는 <math>E</math>와 <math>E^*</math> 사이의 자연스러운 곱 (즉, 연속 범함수의 값매김)이다.

=== 힐베르트 공간의 경우 ===
<math>H</math>가 [[힐베르트 공간]]이라고 하자. [[리스 표현 정리]]에 따라 <math>H\cong H^*</math>이다. 이 경우, 대칭 작용소는 다음과 같이 여러 가지로 정의될 수 있으나, 이 정의들은 모두 서로 [[동치]]이다.

<math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>(H,\langle\cdot|\cdot\rangle)</math>의 [[조밀 집합|조밀]] 부분 벡터 공간 <math>\operatorname{dom}A\subseteq H</math>에 정의된 [[선형 변환]]
:<math>A\colon\operatorname{dom}A\to H</math>
에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.<ref name="Teschl"/>{{rp|58–59}}
* <math>A</math>는 대칭 작용소이다.
* 모든 <math>u,v\in\operatorname{dom}A</math>에 대하여, <math>\langle u|A|v\rangle=\langle Au|v\rangle</math>이다.
* <math>\operatorname{dom}A\subset\operatorname{dom}A^*</math>이며, 모든 <math>u\in\operatorname{dom}A</math>에 대하여 <math>Au=A^*u</math>이다. 여기서 <math>A^*</math>는 [[에르미트 수반]]이다.
힐베르트 공간 위의 대칭 작용소의 경우 항상 <math>\operatorname{dom}A\subset\operatorname{dom}A^*</math>이며, 따라서 <math>\operatorname{dom}A^*</math> 역시 [[조밀 집합]]이다.

대칭 작용소 <Math>A</math>의 경우, <math>\operatorname{dom}A = \operatorname{dom}A^*</math>일 필요는 없다. 만약 이 조건을 추가한다면, '''[[자기 수반 작용소]]'''의 개념을 얻는다.

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
[[힐베르트 공간]] <math>H</math>의 조밀 부분 벡터 공간 <math>D</math> 위에 정의된 작용소 <math>D\to H</math>들의 종류에 대하여, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| [[자기 수반 작용소]] || ⊂ || 대칭 작용소 || ⊂ || 작용소
|-
| ∪ || || ∪ || || ∪
|-
| [[유계 작용소|유계]] [[자기 수반 작용소]] || = || [[유계 작용소|유계]] 대칭 작용소 || ⊂ || [[유계 작용소]]
|}
여기서 둘째 줄(유계 작용소)의 경우 <math>D = H</math>이다. 즉, '''헬링거-퇴플리츠 정리'''({{llang|en|Hellinger–Toeplitz theorem}})에 따르면, 정의역이 힐베르트 공간 전체인 대칭 작용소는 [[유계 작용소]]이다.<ref name="Teschl"/>{{rp|67}}

유한 차원 [[힐베르트 공간]] <math>\mathbb C^n</math> 위의 작용소 <math>A</math>에 대하여, 다음이 서로 동치이다.
* <math>A</math>는 대칭 작용소이다.
* <math>A</math>는 [[자기 수반 작용소]]이다.
* <math>A</math>의 행렬은 [[에르미트 행렬]]이다.

=== 결점 지표 ===
[[복소수 힐베르트 공간]] <math>H</math> 위의 대칭 작용소
:<math>A\colon\operatorname{dom}A\to H</math>
를 생각하자. 즉, 부분 공간
:<math>\operatorname{dom}A \subseteq \operatorname{dom}A^* \subseteq H</math>
이 존재한다. 이제 다음과 같은 두 부분 공간을 정의하자.
:<math>N_\pm = \operatorname{im}(A \pm \mathrm i)^\perp = \left\{y\in H\colon \forall x\in \operatorname{dom}A\colon \langle y|A|x\rangle = - \mathrm i\langle y|x\rangle \right\}</math>
이들은 [[직교 여공간]]이므로 [[닫힌집합]]이며, 특히 [[힐베르트 공간]]을 이룬다. 그 차원
:<math>\dim N_\pm</math>
을 <math>A</math>의 '''결점 지표'''(缺點指標, {{llang|en|deficiency index}})라고 한다.

'''폰 노이만 공식'''({{llang|en|von Neumann formula}})에 따르면, 다음이 성립한다.
:<math>N_\pm = \ker(A^* \mp \mathrm i)</math>

=== 대칭 확장 ===
<math>\mathbb K</math>-힐베르트 공간 <math>H</math> 위의 대칭 작용소 <math>A\colon\operatorname{dom}A\to H</math>의 '''대칭 확장'''(對稱擴張, {{llang|en|symmetric extension}})은 다음을 만족시키는 작용소 <math>\tilde A\colon\operatorname{dom}\tilde A\to H</math>이다. 이 경우 <math>A\subseteq\tilde A</math>라고 표기하자.
* <math>\operatorname{dom}A\subseteq\operatorname{dom}\tilde A</math>
* <math>\forall v\in\operatorname{dom}A\colon Av=\tilde Av</math>
즉, 이는
:<math>\operatorname{graph}A\subseteq\operatorname{graph}\tilde A\subseteq H\oplus H</math>
인 조건과 같다.

대칭 확장 관계를 통해, <math>H</math> 위의 대칭 작용소들의 [[집합]]은 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 대칭 작용소의 대칭 확장은 일반적으로 유일하지 않으며, 존재하지 않을 수도 있다.

<math>\mathbb K=\mathbb C</math>라고 추가로 가정하자. 대칭 작용소 <math>A</math>의 자기 수반 확장들은 다음과 같은 [[유니터리 작용소]]와 [[일대일 대응]]한다.<ref name="Teschl"/>{{rp|81–84}}
:<math>U\colon N_+ \to N_-</math>
특히, <math>A</math>가 자기 수반 확장을 가질 [[필요 충분 조건]]은 두 결점 지표가 같은 것이다.
:<math>\dim N_+=\dim N_-</math>
또한, <math>A</math>가 유일한 자기 수반 확장을 가질 [[필요 충분 조건]]은 두 결점 지표가 모두 0인 것이다.
:<math>0=\dim N_+=\dim N_-</math>

== 예 ==
다음을 생각하자.
:<math>H = \operatorname L^2([0,1];\mathbb C)</math>
:<math>\operatorname{dom}A = \{f\in \mathcal C^1([0,1],\mathbb C) \colon f(0) = f(1) = 0\} \subsetneq H</math>
:<math>A \colon \operatorname{dom}A \to H</math>
:<math>A \colon f \mapsto -\mathrm i \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math>
그렇다면, <math>A</math>는 대칭 작용소이다. 이 경우, <math>N_\pm</math>은 다음과 같은 [[미분 방정식]]의 해의 공간이다.
:<math>\mp\frac{\mathrm du}{\mathrm dx} = \frac{\mathrm du}{\mathrm dx}</math>
이는 각각 1차원이며, 구체적으로
:<math>N_\pm = \operatorname{Span} \{ x\mapsto \exp(\mp x)\}</math>
이다. 따라서 <math>A</math>는 자기 수반 연산자가 아니지만, 자기 수반 확장을 갖는다. 자기 수반 확장의 공간은 <math>\operatorname U(1)</math>과 동형이다.

구체적으로,
:<math>\operatorname{dom}\tilde A = \{f\in \mathcal C^1([0,1],\mathbb C) \colon f(0) = f(1)\} \subsetneq H</math>
:<math>\tilde A \colon \operatorname{dom}A \to H</math>
:<math>\tilde A \colon f \mapsto -\mathrm i \frac{\mathrm d}{\mathrm dx}</math>
을 생각하자. 이는 <math>A</math>의 대칭 확장인데, 이 경우 <math>N_+(\tilde A) = N_-(\tilde A) = 0</math>이므로, 유일한 자기 수반 확장을 갖는다.

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용 |isbn=978-89-8172-378-1 |제목=공업수학 탐구 |저자=곽도영 |출판사=교우사 |날짜=2010-02-05|언어=ko}}
*{{서적 인용|first=F. A. |last=Berezin |공저자=M. A. Shubin |title=The Schrödinger equation|publisher=Klüwer |날짜=1991 |언어=en}}
*{{서적 인용|first=B. C. |last=Hall |title=Quantum theory for mathematicians |publisher=Springer |location=New York |날짜=2013 |언어=en}}
*{{서적 인용|first=M. |last=Reed |이름2=Barry |성2=Simon |title=Methods of Mathematical Physics, vol. 2|publisher=Academic Press |year=1972 |언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Self-adjoint extensions of operators and the teaching of quantum mechanics|이름=Guy|성=Bonneau|공저자=Jacques Faraut, Galliano Valent|arxiv=quant-ph/0103153|doi=10.1119/1.1328351|저널=American Journal of Physics|권=69|날짜=2001|쪽=322–331|bibcode=2001AmJPh..69..322B|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Hermitian operator}}
* {{eom|title=Symmetric operator}}
* {{eom|title=Semi-bounded operator}}

[[분류:함수해석학]]
[[분류:힐베르트 공간]]