대칭 모노이드 범주 문서 원본 보기

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[[범주론]]에서 '''대칭 모노이드 범주'''(對稱monoid範疇, {{llang|en|symmetric monoidal category}})는 [[동형 사상]] 아래 [[결합 법칙]]과 [[교환 법칙]]이 성립하고, [[동형 사상]] 아래 항등원이 존재하는 [[이항 연산]]을 갖는 [[범주 (수학)|범주]]이다. ([[교환 법칙]]이 성립하지 못할 수 있는) [[모노이드 범주]]의 개념의 특수한 경우이다.

== 정의 ==
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* [[모노이드 범주]] <math>(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)</math>
* [[함자 (수학)|함자]] <math>\otimes\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C,\;(X,Y)\mapsto X\otimes Y</math>, <math>\otimes\circ\sigma_{\mathcal C,\mathcal C}\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C,\;(X,Y)\mapsto Y\otimes X</math> 사이의 [[자연 동형]] <math>\sigma\colon\otimes\Rightarrow\otimes\circ\sigma_{\mathcal C,\mathcal C}</math>. 여기서 <math>\sigma_{\mathcal C,\mathcal C}\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C\times\mathcal C</math>, <math>(X,Y)\mapsto(Y,X)</math>는 곱범주 위의 표준적인 [[자연 동형]]이다.
이 데이터에 대하여 다음 조건들을 생각하자.
* (결합자와의 호환) 임의의 대상 <math>X,Y,Z\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>\alpha_{Y,Z,X}\circ\sigma_{X,Y\otimes Z}\circ\alpha_{X,Y,Z}=(\operatorname{id}_Y\otimes\sigma_{X,Z})\circ\alpha_{Y,X,Z}\circ(\sigma_{X,Y}\otimes\operatorname{id}_Z)</math>. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
*:<math>\begin{matrix}
(X\otimes Y)\otimes Z&\xrightarrow\sigma&(Y\otimes X)\otimes Z\\
{\scriptstyle\alpha}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\alpha\\
X\otimes(Y\otimes Z)&&Y\otimes(X\otimes Z)\\
{\scriptstyle\sigma}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\sigma\\
(Y\otimes Z)\otimes X&\xrightarrow[\alpha]{}&Y\otimes(Z\otimes X)\\
\end{matrix}</math>
* (결합자의 역원과의 호환) 임의의 대상 <math>X,Y,Z\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>\alpha^{-1}_{Z,X,Y}\circ\sigma_{X\otimes Y,Z}\circ\alpha^{-1}_{X,Y,Z}=(\sigma_{X,Z}\otimes\operatorname{id}_Y)\circ\alpha^{-1}_{X,Z,Y}\circ(\operatorname{id}_X\otimes\sigma_{Y,Z})</math>. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
*:<math>\begin{matrix}
X\otimes(Y\otimes Z)&\xrightarrow\sigma& X\otimes(Z\otimes Y)\\
{\scriptstyle\alpha^{-1}}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\alpha^{-1}\\
(X\otimes Y)\otimes Z&&(X\otimes Z)\otimes Y\\
{\scriptstyle\sigma}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\sigma\\
Z\otimes(X\otimes Y)&\xrightarrow[\alpha^{-1}]{}&(Z\otimes X)\otimes Y\\
\end{matrix}</math>
* (멱등성) 임의의 대상 <math>X,Y\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>\operatorname{id}_{X\otimes Y}=\sigma_{Y,X}\circ\sigma_{X,Y}</math>. 즉, 다음 그림은 가환 그림이다.
*:<math>\begin{matrix}
X\otimes Y&\xrightarrow\sigma&Y\otimes X\\
\|&\swarrow\scriptstyle\sigma\\
X\otimes Y
\end{matrix}</math>

이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (결합자의 역원과의 호환) 그림을 가환 그림으로 만든다면, '''꼬임 모노이드 범주'''({{llang|en|braided monoidal category}})라고 한다. 이 데이터가 (결합자와의 호환) 그림 및 (멱등성) 그림을 가환 그림으로 만든다면, 이를 '''대칭 모노이드 범주'''(對稱monoid範疇, {{llang|en|symmetric monoidal category}})라고 한다. (결합자와의 호환) 및 (멱등성)이 성립한다면 (결합자의 역원과의 호환) 역시 자동적으로 성립한다. 즉, 모든 대칭 모노이드 범주는 꼬임 모노이드 범주이다.

== 성질 ==
모든 꼬임 모노이드 범주는 다음 조건을 자동적으로 만족시킨다.<ref name="Kelly">{{저널 인용|제목=On MacLane’s conditions for coherence of natural associativities, commutativities, etc.|이름=Gregory Maxwell|성=Kelly|doi=10.1016/0021-8693(64)90018-3|저널=Journal of Algebra|권=1|호=4|쪽=397–402|날짜=1964-12|issn=0021-8693|언어=en}}</ref>
* (항등원과의 호환) 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>\rho_X=\lambda_X\circ\sigma_{X,I}</math>. 즉, 다음 그림이 가환한다.
*:<math>\begin{matrix}
X\otimes I&\xrightarrow\sigma&I\otimes X\\
{\scriptstyle\rho}\downarrow&\swarrow\scriptstyle\lambda\\
X
\end{matrix}</math>

== 예 ==
([[끝 대상]]을 포함한) 유한 [[곱 (범주론)|곱]]이 존재하는 범주는 곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 이러한 대칭 모노이드 범주를 '''데카르트 모노이드 범주'''({{llang|en|Cartesian monoidal category}})라고 한다. 마찬가지로, ([[시작 대상]]을 포함한) 유한 [[쌍대곱]]이 존재하는 범주는 쌍대곱을 통해 대칭 모노이드 범주를 이루며, 이러한 대칭 모노이드 범주를 '''쌍대 데카르트 모노이드 범주'''({{llang|en|co-Cartesian monoidal category}})라고 한다.

== 역사 ==
[[손더스 매클레인]]이 1963년에 [[모노이드 범주]] 및 대칭 모노이드 범주의 개념을 정의하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Natural associativity and commutativity|이름=Saunders|성=Mac Lane|저자링크=손더스 매클레인|저널=Rice University Studies|권=49|호=4|쪽=28–46|날짜=1963|zbl=0244.18008|issn=0035-4996|url=http://hdl.handle.net/1911/62865|언어=en}}</ref>

꼬임 모노이드 범주는 앙드레 주아요({{llang|fr|André Joyal}}, 1943~)와 로스 하워드 스트리트({{llang|en|Ross Howard Street}})가 도입하였다.<ref>{{서적 인용|이름=André|성=Joyal|이름2=Ross|성2=Street|제목=Braided monoidal categories|총서=Macquarie Mathematics Reports|권=860081|날짜=1986-11|url=http://maths.mq.edu.au/~street/JS1.pdf|출판사=[[매쿼리 대학교]]|언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|이름=André|성=Joyal|이름2=Ross|성2=Street|제목=Braided tensor categories |저널=Advances in Mathematics|권=102|호=1|날짜=1993-11|쪽=20–78|doi=10.1006/aima.1993.1055|issn=0001-8708|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Closed monoidal category}}
* {{eom|title=Braided category}}
* {{nlab|id=symmetric monoidal category|title=Symmetric monoidal category}}
** {{nlab|id=symmetric monoidal functor|title=Symmetric monoidal functor}}
** {{nlab|id=coherence theorem for symmetric monoidal categories|title=Coherence theorem for symmetric monoidal categories}}
* {{nlab|id=braided monoidal category|title=Braided monoidal category}}
** {{nlab|id=braided monoidal functor|title=Braided monoidal functor}}
** {{nlab|id=coherence theorem for braided monoidal categories|title=Coherence theorem for braided monoidal categories}}

[[분류:범주론]]