대칭 공간 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|R0 공간|특별한 [[동차 공간]]|약한 분리 공리를 만족시키는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]}}
[[리만 기하학]]과 [[리 군론]]에서 '''대칭 공간'''(對稱空間, {{llang|en|symmetric space}})은 일반점의 [[안정자군]]이 어떤 [[대합 (수학)|대합]]에 의하여 정의되는 [[동차 공간]]이다.

== 정의 ==
'''대칭 공간''' <math>G/H</math>는 다음 조건을 만족시키는 [[동차 공간]]이다.
:<math>H</math>는 어떤 [[대합 (수학)|대합]] <math>\sigma\colon G\to G</math>에 대하여, <math>G^\sigma</math>의 [[열린집합]]이다.
여기서
:<math>G^\sigma=\{g\in G\colon\sigma g=g\}</math>
는 <math>\sigma</math>에 의한 [[고정점]]들의 부분 공간이다.

대칭 공간의 '''계수'''(階數, {{llang|en|rank}})는 접공간의 부분 벡터 공간 가운데, 곡률이 0인 것의 최대 차원이다. 대칭 공간 가운데 [[에르미트 다양체]]인 것들은 항상 자동적으로 [[켈러 다양체]]를 이루며, 이를 '''에르미트 대칭 공간'''(Hermite對稱空間, {{llang|en|Hermitian symmetric space}})이라고 한다.

<math>G</math>의 리 대수가 <math>\mathfrak g</math>라고 하자. 대합
:<math>\sigma\colon\mathfrak g\to\mathfrak g</math>
는 <math>\sigma^2=1</math>이므로 [[고윳값]] <math>\pm1</math>을 갖는다. 이에 따라, <math>\mathfrak g</math>는 두 부분 공간의 [[직합]]으로 나타내어지며, 고윳값이 <math>+1</math>인 부분 대수는 <math>H</math>의 리 대수 <math>\mathfrak h</math>와 같다. 고윳값이 <math>-1</math>인 부분 대수는 <math>\mathfrak m</math>이라고 적자.
:<math>\mathfrak g=\mathfrak h\oplus\mathfrak m</math>
:<math>[\mathfrak h,\mathfrak h]\subset\mathfrak h</math>
:<math>[\mathfrak h,\mathfrak m]\subset\mathfrak m</math>
:<math>[\mathfrak m,\mathfrak m]\subset\mathfrak h</math>

== 성질 ==
=== 함의 관계 ===
[[리 군]] <math>G</math>의 닫힌 부분군 <math>H\le G</math>가 주어졌으며, 이들에 대응하는 [[리 대수]]가 각각 <math>\mathfrak h\subseteq\mathfrak g</math>라고 하자. 또한, 항상
:<math>\mathfrak g = \mathfrak h + \mathfrak m</math>
이 되는 [[실수 벡터 공간]] <math>\mathfrak m\subseteq\mathfrak g</math>를 찾을 수 있다. 이제, <math>\mathfrak m</math>이 가질 수 있는 다음과 같은 일련의 조건들을 정의할 수 있으며, 이 조건들은 다음과 같은 [[동차 공간]]들을 정의한다.

{| class=wikitable
|-
! 공간 !! 조건
|-
| 동차 공간 || (없음)
|-
| 가약 동차 공간 || <math>\operatorname{Ad}(H)\mathfrak h\subseteq\mathfrak m</math>
|-
| 대칭 공간 || <math>\operatorname{Ad}(H)\mathfrak m \subseteq\mathfrak m</math>, <math>[\mathfrak m,\mathfrak m]\subseteq\mathfrak h</math>
|-
| 리만 대칭 공간 || 대칭 공간이며, <math>\mathfrak m</math> 위에 <math>\operatorname{Ad}(H)</math>-불변 [[내적 공간|내적]]이 존재
|}

여기서, <math>\operatorname{Ad}(H)\mathfrak m\subseteq\mathfrak m</math>인 조건은
:<math>[\mathfrak h,\mathfrak m]\subseteq\mathfrak m</math>
을 함의한다. (만약 <math>H</math>의 중심이 자명하다면 이는 리 대수 조건과 동치이다.)

리만 대칭 공간의 경우, <math>\mathfrak m</math>은 <math>G/H</math>의 접공간과 동형이므로, <math>\mathfrak m</math> 위의 내적은 <math>G/H</math> 위의 [[리만 계량]]을 정의한다.

== 분류 ==
콤팩트 대칭 공간은 [[엘리 카르탕]]에 의하여 모두 분류되었다.<ref>{{저널 인용|first=Élie|last= Cartan|authorlink=엘리 카르탕|title=Sur une classe remarquable d’espaces de Riemann|journal=  Bulletin de la Société Mathématique de France|volume= 54|year=1926|pages= 214&ndash;216|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1926__54__214_0|jfm=52.0425.01|issn=0037-9484|언어=fr}}</ref><ref>{{저널 인용|first=Élie|last= Cartan|authorlink=엘리 카르탕| title= Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann II|journal= Bulletin de la Société Mathématique de France|volume=55|year=1927|pages=114&ndash;134|url=http://www.numdam.org/item?id=BSMF_1927__55__114_0|issn=0037-9484|jfm=53.0390.01|언어=fr}}</ref>

모든 [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] 콤팩트 대칭 공간은 아래 군들의 [[직접곱]]이다. 아래 목록에서, [[켈러 다양체]]가 되는 것은 특별히 표시하였다.

{| class="wikitable"
|-
! 이름
! ''G''
! ''H''
! 차원
! 계수
! 켈러 다양체
|-
| A<sub>I</sub>
| <math>\operatorname{SU}(n)</math>
| <math>\operatorname{SO}(n)</math>
| <math>(n-1)(n+2)/2</math>
| <math>n-1</math>
|-
| A<sub>II</sub>
| <math>\operatorname{SU}(2n)</math>
| <math>\operatorname{USp}(2n)</math>
| <math>(n-1)(2n+1) </math>
| <math>n-1</math>
|-
| A<sub>III</sub>
| <math>\operatorname{SU}(p+q)</math>
| <math>\operatorname{S}(\operatorname{U}(p) \times \operatorname{U}(q))</math>
| <math>2pq </math>
| <math>\min\{p,q\}</math>
| 켈러 다양체
|-
| BD<sub>I</sub>
| <math>\operatorname{SO}(p+q)</math>
| <math>\operatorname{SO}(p) \times \operatorname{SO}(q)</math>
| <math> pq </math>
| <math>\min\{p,q\}</math>
| <math>q=2</math>인 경우는 켈러 다양체
|-
| D<sub>III</sub>
| <math>\operatorname{SO}(2n)</math>
| <math>\operatorname{U}(n)</math>
| <math> n(n-1) </math>
| <math>\lfloor n/2\rfloor</math>
| 켈러 다양체
|-
| C<sub>I</sub>
| <math>\operatorname{USp}(2n)</math>
| <math>\operatorname{U}(n)</math>
| <math> n(n+1) </math>
| <math>n</math>
| 켈러 다양체
|-
| C<sub>II</sub>
| <math>\operatorname{USp}(2p+2q)</math>
| <math>\operatorname{USp}(2p) \times \operatorname{USp}(2q)</math>
| <math> 4pq </math>
| <math>\min\{p,q\}</math>
|-
| E<sub>I</sub>
| <math>E_6</math>
| <math>\operatorname{PUSp}(8)</math>
| 42
| 6
|-
| E<sub>II</sub>
| <math>E_6</math>
| <math>\operatorname{SU}(6)\times\operatorname{SU}(2)</math>
| 40
| 4
|-
| E<sub>III</sub>
| <math>E_6</math>
| <math>\operatorname{SO}(10)\times\operatorname{U}(1)</math>
| 32
| 2
| 켈러 다양체
|-
| E<sub>IV</sub>
| <math>E_6</math>
| <math>F_4</math>
| 26
| 2
|-
| E<sub>V</sub>
| <math>E_7</math>
| <math>\operatorname{SU}(8)/\{\pm I\}</math>
| 70
| 7
|-
| E<sub>VI</sub>
| <math>E_7</math>
| <math>\operatorname{SO}(12)\times\operatorname{SU}(2)</math>
| 64
| 4
|-
| E<sub>VII</sub>
| <math>E_7</math>
| <math>E_6\cdot\operatorname{U}(1)</math>
| 54
| 3
| 켈러 다양체
|-
| E<sub>VIII</sub>
| <math>E_8</math>
| <math>\operatorname{PSpin}(16)</math>
| 128
| 8
|-
| E<sub>IX</sub>
| <math>E_8</math>
| <math>E_7\cdot\operatorname{SU}(2)</math>
| 112
| 4
|-
| F<sub>I</sub>
| <math>F_4</math>
| <math>\operatorname{USp}(6)\times \operatorname{SU}(2)</math>
| 28
| 4
|-
| F<sub>II</sub>
| <math>F_4</math>
| <math>\operatorname{Spin}(9)</math>
| 16
| 1
|-
| G
| <math>G_2</math>
| <math>\operatorname{SO}(4)</math>
| 8
| 2
|}

== 예 ==
모든 콤팩트 [[반단순 리 군]]은 ([[킬링 형식]]에 비례하는 [[리만 계량]]을 부여하면) 자명하게 대칭 공간이다. 비콤팩트 [[반단순 리 군]]의 경우, 마찬가지로 [[준리만 다양체]]로 간주할 경우 대칭 공간을 이룬다.

[[초구]]와 [[유클리드 공간]]과 [[쌍곡 공간]]은 모두 대칭 공간이다. 초구의 경우, 이는
:<math>\mathbb S^n = \operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n)</math>
이며, 이는 BD<sub>I</sub>의 특별한 경우이다. 유클리드 공간은
:<math>\mathbb R^n = \operatorname{ISO}(n)/\operatorname{SO}(n)</math>
의 꼴로 얻어지며, [[쌍곡 공간]]은
:<math>\mathbb H^n = \operatorname{SO}(n,1) / \operatorname{SO}(n)</math>
의 꼴로 얻어진다.

[[더 시터르 공간]]과 [[반 더 시터르 공간]]은 준리만 대칭 공간이다.

== 같이 보기 ==
* [[사타케 도표]]
== 각주 ==
{{각주}}
*{{서적 인용|first=Sigurður|last=Helgason|title=Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces|year=1978|publisher=Academic Press|isbn=0-12-338460-5|언어=en}}
* {{서적 인용|first=Ottmar|last= Loos|title=Symmetric spaces Ⅰ: General Theory|publisher= Benjamin|year= 1969|언어=en}}
* {{서적 인용|first=Ottmar|last= Loos|title=Symmetric spaces Ⅱ: Compact Spaces and Classification|publisher= Benjamin|year= 1969|언어=en}}
* {{서적 인용|first=Joseph A.|last= Wolf|title=Spaces of constant curvature|edition=5th|year= 1999|publisher=McGraw–Hill|언어=en}}
*{{저널 인용| first=Marcel|last= Berger|title=Les espaces symmétriques noncompacts|journal=Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure|volume=74|year=1957|pages=85&ndash;177|url=http://www.numdam.org/item?id=ASENS_1957_3_74_2_85_0|언어=fr}}
*{{서적 인용|first=Sigurður|last=Helgason|장=Group representations and symmetric spaces|날짜=1970|제목=Actes du congrès international des mathématiciens, Nice 1970|isbn=0-12-338460-5|장url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1970.2/Main/icm1970.2.0313.0320.ocr.pdf|url=http://www.mathunion.org/ICM/ICM1970.2/|언어=en|확인날짜=2015-07-06|보존url=https://web.archive.org/web/20150402130603/http://mathunion.org/ICM/ICM1970.2/#|보존날짜=2015-04-02|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Symmetric space}}
* {{eom|title=Globally symmetric Riemannian space}}
* {{nlab|id=symmetric space|title=Symmetric space}}

{{전거 통제}}

[[분류:리 군]]
[[분류:리만 기하학]]