대칭군 (군론) 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''대칭군'''(對稱群, {{llang|en|symmetric group}})은 주어진 원소들을 재배열하는 방법([[순열]])들로 구성된 [[군 (수학)|군]]이다. '''순열군'''(順列群, {{llang|en|permutation group}}) 또는 '''치환군'''(置換群)은 대칭군의 [[부분군]]을 뜻한다.

== 정의 ==
[[집합]] <math>X</math>의 '''대칭군'''은 <math>X</math>에서 <math>X</math>로 가는 모든 [[전단사 함수]]의 집합에 [[군 (수학)|군]] 구조를 준 것으로, 기호로는 <math>S_X</math> 또는 <math>\operatorname{Sym}(X)</math>로 표기한다. 이 때, 군 연산은 [[함수의 합성]]이다. 즉, 두 함수 <math>f</math>와 <math>g</math>를 합성하여 새로운 전단사 함수 <math>f \circ g</math>를 얻을 수 있다. 이 때, <math>f \circ g</math>는 <math>X</math>의 모든 원소 x에 대해 <math>(f \circ g)(x) = f(g(x))</math>로 정의한다. 이 연산과 함께 <math>\operatorname{Sym}(X)</math>는 군을 이룬다. 이 연산은 간단히 <math>fg</math>로 쓸 수도 있다.

특별히 중요하게 다루어지는 것은 [[유한 집합]] <math>X = \{1, \cdots, n\}</math>의 경우이다. 이 집합의 대칭군 <math>\operatorname{Sym}(\{1, \cdots, n\})</math>를 간단히 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>으로 표기한다. <math>\operatorname{Sym}(n)</math>의 원소들을 <math>X</math>의 '''[[순열]]'''이라 한다.

''n''개 원소에 대한 대칭군의 [[군의 표시|표시]]는 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Sym}(n)\cong\langle\sigma_1,\dots,\sigma_{n-1}|\sigma_i^2=(\sigma_i\sigma_j)^2=(\sigma_i\sigma_{i+1})^3=1\qquad(j\ne i\pm1)\rangle</math>
여기서 <math>\sigma_i</math>는 [[순열]] <math>(i,i+1)</math>에 대응한다.

== 성질 ==
''n''개 원소에 대한 대칭군 <math>\operatorname{Sym}(n)</math>은 크기가 <math>n!</math>인 [[유한군]]이다. 무한 대칭군의 경우, [[집합의 크기|크기]]가 <math>\kappa</math>인 집합 위의 대칭군의 크기는
:<math>|\operatorname{Sym}(\kappa)|=\kappa^\kappa</math>
이다.

대칭군은 오직 <math>n\le2</math>인 경우에만 [[아벨 군]]이며, 오직 <math>n\le 4</math>일 경우에만 [[가해군]]이다. 이것이 [[아벨-루피니 정리]](5차 이상의 다항식은 거듭제곱근으로 풀 수 없음)의 기본적인 이유이다.

대칭군의 두 순열 <math>\sigma_1,\sigma_2\in\operatorname{Sym}(n)</math>이 같은 [[켤레류]]에 속할 필요충분조건은 두 순열의 순환({{llang|en|cycle}}) 구조가 같다는 것이다. 즉, 두 순열이 같은 수의 순환들로 구성되고, 각 순환들의 길이가 같을 때 서로 같은 [[켤레류]]에 속한다.

=== 호몰로지 ===
대칭군의 낮은 차수의 [[군 호몰로지]]는 다음과 같다. 군의 정수 계수 1차 호몰로지는 그 [[아벨화]]와 같으며, 대칭군의 아벨화는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H_1(\operatorname{Sym}(n),\mathbb Z) = \begin{cases} 0 & n < 2\\
\operatorname{Cyc}(2) & n \ge 2\end{cases}</math>

군의 정수 계수 2차 호몰로지는 그 [[슈어 승수]]({{llang|en|Schur multiplier}})의 군과 같으며, 대칭군의 경우 이는 다음과 같다.
:<math>\operatorname H_2(\operatorname{Sym}(n),\mathbb Z) = \begin{cases} 0 & n < 4\\
\operatorname{Cyc}(2) & n \ge 4\end{cases}</math>

=== 자기 동형 ===
대칭군의 [[자기 동형군]]과 [[군의 중심|중심]]은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|- 
! ''n''
! <math>\operatorname{Aut}(\operatorname{Sym}(n))</math>
! <math>\operatorname{Out}(\operatorname{Sym}(n))</math>
! <math>\operatorname{Z}(\operatorname{Sym}(n))</math>
|-
| <math>n\ne 2,6</math>
| <math>\operatorname{Sym}(n)</math>
| 1
| 1
|-
| <math>n=2</math>
| 1
| 1
| <math>\operatorname{Sym}(2)</math>
|-
| <math>n=6</math>
| <math>\operatorname{Sym}(6) \rtimes \operatorname{Cyc}(2)</math>
| <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>
| 1
|}

== 응용 ==
대칭군은 수학의 다양한 분야에 등장한다. [[갈루아 이론]]에서, ''n''차 대칭군은 일반적 ''n''차 다항식의 [[갈루아 군]]이다. [[리 군]]의 이론에서, ''n''차 대칭군은 [[일반선형군]] <math>\operatorname{GL}(n,\mathbb C)</math> 및 [[특수선형군]] <math>\operatorname{SL}(n+1,\mathbb C)=A_n</math>의 [[바일 군]]이며, [[슈어 함자]]({{llang|en|Schur functor}})에 따라 특수선형군의 기약표현들은 대칭군의 기약표현과 대응한다. 또한, 대칭군은 [[콕서터 군]] <math>A_n</math>과 같다.

== 낮은 차수의 대칭군 ==
낮은 차수의 대칭군은 다음과 같다.
{| class="wikitable"
|-
! 대칭군 || 다른 이름
|-
| Sym(0) || 1 ([[자명군]])
|-
| Sym(1) || 1 ([[자명군]])
|-
| Sym(2) || <math>\mathbb Z/2</math> (2차 [[순환군]])
|-
| Sym(3) || Dih(6) ([[정이면체군]]), <math>\operatorname{PGL}(2;\mathbb F_2)</math> (2차 [[유한체]]에 대한 2×2 사영일반선형군)
|-
| Sym(4) || <math>\operatorname{PGL}(2;\mathbb F_3)</math> (3차 [[유한체]]에 대한 2×2 사영일반선형군)
|}

== 같이 보기 ==
* [[스테인하우스-존슨-트로터 알고리즘]]

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Symmetric group}}
* {{매스월드|id=SymmetricGroup|title=Symmetric group}}
* {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group|제목=Symmetric group|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Contrasting_symmetric_groups_of_various_degrees|제목=Contrasting symmetric groups of various degrees|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group_on_finite_set|제목=Symmetric group on finite set|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group_of_prime_degree|제목=Symmetric group of prime degree|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group_of_prime_power_degree|제목=Symmetric group of prime power degree|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S3|제목=Symmetric group:S3|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S4|제목=Symmetric group:S4|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S5|제목=Symmetric group:S5|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S6|제목=Symmetric group:S6|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S7|제목=Symmetric group:S7|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S8|제목=Symmetric group:S8|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S9|제목=Symmetric group:S9|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
** {{웹 인용|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S10|제목=Symmetric group:S10|웹사이트=Groupprops|언어=en}}
* {{수학노트|title=대칭군 (symmetric group)}}
* {{수학노트|title=대칭군의 표현론}}

{{전거 통제}}

[[분류:순열군]]
[[분류:대칭]]