대응 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서, '''대응 정리'''({{llang|en|correspondence theorem}})는<ref name="Robinson2003">{{서적 인용|제목=An Introduction to Abstract Algebra|url=https://archive.org/details/introductiontoab00robi|성=Derek John Scott Robinson|연도=2003|출판사=Walter de Gruyter|쪽=[https://archive.org/details/introductiontoab00robi/page/n73 64]|isbn=978-3-11-017544-8}}</ref><ref name="Humphreys1996">{{서적 인용|제목=A Course in Group Theory|url=https://archive.org/details/coursegrouptheor00hump_354|성=J. F. Humphreys|연도=1996|출판사=Oxford University Press|쪽=[https://archive.org/details/coursegrouptheor00hump_354/page/n74 65]|isbn=978-0-19-853459-4}}</ref><ref name="Rose2009">{{서적 인용|제목=A Course on Finite Groups|url=https://archive.org/details/courseonfinitegr00rose|성=H.E. Rose|연도=2009|출판사=Springer|쪽=[https://archive.org/details/courseonfinitegr00rose/page/n89 78]|isbn=978-1-84882-889-6}}</ref><ref name="AlperinBell1995">{{서적 인용|제목=Groups and Representations|url=https://archive.org/details/groupsrepresenta00alpe_213|성=J.L. Alperin|성2=Rowen B. Bell|연도=1995|출판사=Springer|쪽=[https://archive.org/details/groupsrepresenta00alpe_213/page/n65 11]|isbn=978-1-4612-0799-3}}</ref><ref name="Isaacs1994">{{서적 인용|제목=Algebra: A Graduate Course|url=https://archive.org/details/algebragraduatec00isaa|성=I. Martin Isaacs|연도=1994|출판사=American Mathematical Soc.|쪽=[https://archive.org/details/algebragraduatec00isaa/page/n47 35]|isbn=978-0-8218-4799-2}}</ref><ref name="Rotman1995">{{서적 인용|제목=An Introduction to the Theory of Groups|url=https://archive.org/details/introductiontoth00rotm_489|성=Joseph Rotman|연도=1995|판=4th|출판사=Springer|쪽=[https://archive.org/details/introductiontoth00rotm_489/page/n28 37]–38|isbn=978-1-4612-4176-8}}</ref><ref name="Nicholson2012">{{서적 인용|제목=Introduction to Abstract Algebra|성=W. Keith Nicholson|연도=2012|판=4th|출판사=John Wiley & Sons|쪽=352|isbn=978-1-118-31173-8}}</ref><ref name="Roman2011">{{서적 인용|제목=Fundamentals of Group Theory: An Advanced Approach|성=Steven Roman|연도=2011|출판사=Springer Science & Business Media|쪽=113–115|isbn=978-0-8176-8301-6}}</ref> 또는 '''제4 [[동형 정리]]'''({{llang|en|fourth isomorphism theorem}})<ref name="HodgeSchlicker2013">{{서적 인용|제목=Abstract Algebra: An Inquiry Based Approach|성=Jonathan K. Hodge|성2=Steven Schlicker|연도=2013|출판사=CRC Press|쪽=425|isbn=978-1-4665-6708-5|성3=Ted Sundstrom}}</ref> 또는 '''격자 정리'''({{llang|en|lattice theorem}})는 몫 [[대수 구조]]의 [[합동 관계]]들을 묘사하는 정리이다.

== 정의 ==
[[대수 구조]] <math>A</math>와 그 위의 [[합동 관계]] <math>{\sim}\in\operatorname{Cong}(A)</math>가 주어졌다고 하자. '''대응 정리'''에 따르면, 다음 두 [[격자 (순서론)|격자]]는 [[동형]]이다.<ref name="Burris">{{서적 인용
|이름1=Stanley N.
|성1=Burris
|이름2=Hanamantagouda P.
|성2=Sankappanavar
|제목=A course in universal algebra
|언어=en
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=78
|출판사=Springer
|날짜=1981
|isbn=978-1-4613-8132-7
|issn=0072-5285
|mr=0648287
|zbl=0478.08001
|url=https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html
|url-status=live
|확인날짜=2022-08-08
|보존url=https://web.archive.org/web/20220724132440/https://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/ualg.html
|보존날짜=2022-07-24
}}</ref>{{rp|49, Theorem 6.20}}
* 몫 대수 위의 [[합동 관계]]들의 격자 <math>\operatorname{Cong}(A/{\sim})</math>
* <math>A</math>의 [[합동 관계]]들 가운데, <math>{\sim}</math>에 의하여 함의되는 것들의 격자 <math>\mathop\uparrow{\sim}=\{{\sim}'\in\operatorname{Cong}(A)\colon\forall a,b\in A\colon a\sim b\implies a\sim'b\}</math>. 이는 <math>A</math>의 합동 관계 격자 <math>\operatorname{Cong}(A)</math>의 부분 격자를 이룬다.
두 격자 사이의 [[동형 사상]]은 구체적으로 다음과 같이 주어진다.
:<math>\mathop\uparrow{\sim}\to\operatorname{Cong}(A/{\sim})</math>
:<math>{\sim}'\mapsto{\sim}'/{\sim}</math>
여기서 <math>{\sim}'/{\sim}</math>은 다음과 같은 <math>A/{\sim}</math> 위의 [[이항 관계]]다.
:<math>[a]_\sim\mathrel{{\sim}'/{\sim}}[b]_\sim\iff a\sim'b</math>
즉, 대응 정리에 따르면, 다음 명제들이 성립한다.
* 만약 <math>{\sim}'</math>이 <math>{\sim}</math>을 포함하는 <math>A</math> 위의 [[합동 관계]]라면, <math>{\sim}'/{\sim}</math>은 <math>A/{\sim}</math> 위의 합동 관계이다.
* <math>A/{\sim}</math> 위의 모든 [[합동 관계]]는 어떤 <math>{\sim}</math>을 포함하는 <math>A</math> 위의 [[합동 관계]] <math>{\sim}'</math>에 대하여 <math>{\sim}'/{\sim}</math>의 꼴로 나타낼 수 있다.
* <math>{\sim}</math>을 포함하는 <math>A</math> 위의 [[합동 관계]] <math>{\sim}_1,{\sim}_2\in\mathop\uparrow{\sim}</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
** <math>a\sim_1b</math>가 <math>a\sim_2b</math>를 함의하는 것과 <math>a\mathrel{{\sim}_1/{\sim}}b</math>는 <math>a\mathrel{{\sim}_2/{\sim}}b</math>를 함의하는 것은 서로 [[필요충분조건]]이다.
** <math>({\sim}_1\vee{\sim}_2)/{\sim}={\sim}_1/{\sim}\vee{\sim}_2/{\sim}</math>. 여기서 <math>{\sim}_1\vee{\sim}_2</math>는 <math>\sim_1</math>과 <math>\sim_2</math>로 생성되는 합동 관계이다.
** <math>({\sim}_1\cap{\sim}_2)/{\sim}={\sim}_1/{\sim}\cap{\sim}_2/{\sim}</math>. 여기서 <math>{\sim}_1\cap{\sim}_2</math>는 <math>a\mathrel{{\sim}_1\cap{\sim}_2}b\iff a\sim_1b\land a\sim_2b</math>로 정의된다.

== 예 ==
대응 정리는 모든 종류의 [[대수 구조]]에 적용할 수 있다. [[군 (수학)|군]], [[환 (수학)|환]], [[가군]] 등 일부 [[대수 구조]]의 경우, [[합동 관계]]가 특별한 부분 대수와 [[일대일 대응]]하며, 대응 정리에 등장하는 동형 사상을 몫 대수의 부분 대수에 대하여 확장할 수 있다.

=== 군 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math> 및 [[정규 부분군]] <math>N\vartriangleleft G</math>에 대하여, <math>N</math>을 포함하는 <math>G</math>의 [[부분군]]의 격자와 [[몫군]]의 부분군들의 격자 사이의 함수
:<math>\mathop\uparrow N=\{H\le G\colon N\subseteq H\}\to\operatorname{Sub}(G/N)</math>
:<math>H\mapsto H/N=\{hN\colon h\in H\}</math>
를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* <math>H\mapsto H/N</math>은 격자의 [[동형 사상]]이다. 즉,
** 임의의 <math>N\le H\le G</math>에 대하여, <math>H/N\le G/N</math>
** 임의의 <math>K\le G/N</math>에 대하여, <math>K=H/N</math>인 <math>N\le H\le G</math>가 존재한다.
** 임의의 <math>N\le H,K\le G</math>에 대하여,
*** <math>H\le K</math>일 [[필요충분조건]]은 <math>H/N\le K/N</math>이다.
*** <math>\langle H\cup K\rangle/N=\langle H/N\cup K/N\rangle</math>. 여기서 <math>\langle H\cup K\rangle</math>는 <math>H\cup K</math>로 생성된 [[부분군]]이다.
*** <math>(H\cap K)/N=H/N\cap K/N</math>
* <math>H\vartriangleleft G</math>일 [[필요충분조건]]은 <math>H/N\vartriangleleft G/N</math>이다.

=== 환 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 및 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subset R</math>에 대하여, <math>\mathfrak a</math>를 포함하는 [[부분군]]의 격자와 [[몫환]]의 부분환 격자 사이의 함수
:<math>\mathop\uparrow\mathfrak a=\{S\in\operatorname{Sub}(R)\colon\mathfrak a\subset S\}\to\operatorname{Sub}(R/\mathfrak a)</math>
:<math>S\mapsto S/\mathfrak a=\{s+\mathfrak a\colon s\in S\}</math>
를 생각하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* <math>S\mapsto S+\mathfrak a</math>는 격자의 [[동형 사상]]이다. 즉,
** 임의의 [[부분환]] <math>\mathfrak a\subset S\subset R</math>에 대하여, <math>S/\mathfrak a</math>는 <math>R/\mathfrak a</math>의 부분환이다.
** 임의의 [[부분환]] <math>T\subset R/\mathfrak a</math>에 대하여, <math>T=S/\mathfrak a</math>인 부분환 <math>\mathfrak a\subset S\subset R</math>가 존재한다.
** 임의의 [[부분환]] <math>\mathfrak a\subset S,T\subset R</math>에 대하여,
*** <math>S\subset T</math>일 [[필요충분조건]]은 <math>S/\mathfrak a\subset T/\mathfrak a</math>이다.
*** <math>\langle S\cup T\rangle/\mathfrak a=\langle S/\mathfrak a\cup T/\mathfrak b\rangle</math>. 여기서 <math>\langle S\cup T\rangle</math>는 <math>S\cup T</math>로 생성된 [[부분환]]이다.
*** <math>(S\cap T)/\mathfrak a=S/\mathfrak a\cap T/\mathfrak a</math>
* <math>S</math>가 <math>R</math>의 [[아이디얼]]일 [[필요충분조건]]은 <math>S/\mathfrak a</math>가 <math>R/\mathfrak a</math>의 아이디얼인 것이다.

=== 가군 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[왼쪽 가군]] <math>M</math> 및 부분 가군 <math>N\subset M</math>에 대하여, <math>N</math>을 포함하는 부분 가군의 격자와 몫 가군의 부분 가군 격자 사이의 함수
:<math>\mathop\uparrow N=\{N'\in\operatorname{Sub}(M)\colon N\subset N'\}\to\operatorname{Sub}(M/N)</math>
:<math>N'\mapsto N'/N=\{m+N\colon m\in N'\}</math>
는 격자의 [[동형 사상]]이다. 즉, 다음이 성립한다.
* 임의의 부분 가군 <math>N\subset N'\subset M</math>에 대하여, <math>N'/N</math>는 <math>M/N</math>의 부분 가군이다.
* 임의의 부분 가군 <math>N''\subset M/N</math>에 대하여, <math>N''=N'/N</math>인 부분 가군 <math>N\subset N'\subset M</math>가 존재한다.
* 임의의 부분 가군 <math>N\subset N',N''\subset M</math>에 대하여,
** <math>N'\subset N''</math>일 [[필요충분조건]]은 <math>N'/N\subset N''/N</math>이다.
** <math>(N'+N'')/N=N'/N+N''/N</math>
** <math>(N'\cap N'')/N=N'/N\cap N''/N</math>

== 같이 보기 ==
* [[모듈러 격자]]

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

[[분류:추상대수학 정리]]