대수 (환론) 문서 원본 보기

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[[추상대수학]]에서 '''대수'''(代數, {{llang|en|algebra|앨지브라}})는 [[쌍선형 형식|쌍선형]] [[곱셈]]을 갖춘 [[가군]]이다. 호환되는 [[환 (수학)|환]]과 가군 구조를 갖춘 [[대수 구조]]에서 곱셈 [[항등원]]과 곱셈 [[결합 법칙]]을 생략하여 얻는다.

== 정의 ==
가환 [[유사환]] <math>R</math> 위의 '''대수''' <math>(A,+,\{r\cdot\}_{r\in R},*)</math>는 다음 공리들을 만족시키는 대수 구조다.
* <math>(A,+,\{r\cdot\}_{r\in R})</math>는 <math>R</math>의 [[가군]]이다.
* <math>*\colon A\times A\to A</math>는 [[쌍선형]] [[이항 연산]]이다.
** (분배 법칙) 임의의 <math>a,b,c,d\in A</math>에 대하여, <math>(a+b)*(c+d)=a*c+a*d+b*c+b*d</math>
** 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>a,b\in A</math>에 대하여, <math>r\cdot(a*b)=(r\cdot a)*b=a*(r\cdot b)</math>

[[결합 법칙]]을 만족시키는 대수를 '''[[결합 대수]]'''({{llang|en|associative algebra}}), [[교환 법칙]]을 만족시키는 대수를 '''가환 대수'''({{llang|en|commutative algebra}})라고 한다.

== 예 ==
비교적 자주 접하는 대수들은 다음이 있다.
* [[결합 대수]]
** [[호프 대수]]
** 환에 대한 [[행렬 대수]]
** [[사원수]] 대수
** [[클리퍼드 대수]]
* 결합 대수가 아닌 대수
** [[팔원수]]와 [[십육원수]]
** [[리 대수]]는 [[결합 법칙]]을 따르지 않지만, [[야코비 항등식]]이라는 법칙을 따른다. 리 대수의 [[보편 포락 대수]]는 결합 법칙을 따른다.
** [[요르단 대수]]는 비결합 가환대수다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용|제목=Abstract algebra|날짜=2007|성=Grillet|이름=Pierre Antoine|isbn= 978-0-387-71567-4|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=242|출판사=Springer|doi=10.1007/978-0-387-71568-1|issn=0072-5285|언어=en}}
* {{서적 인용 | first=Richard D. | last=Schafer | 날짜=1966 | zbl=0145.25601 | title=An introduction to non-associative algebras | publisher=Academic Press | isbn=0-486-68813-5 | 총서=Pure and Applied Mathematics | 권=22 | url=http://store.elsevier.com/product.jsp?isbn=9780080873343 | 언어=en | 확인날짜=2015-03-23 | 보존url=https://web.archive.org/web/20150402163600/http://store.elsevier.com/product.jsp?isbn=9780080873343 | 보존날짜=2015-04-02 | url-status=dead }}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Algebra}}
* {{eom|title=Rings and algebras}}
* {{매스월드|id=Algebra|title=Algebra}}
* {{매스월드|id=AssociativeAlgebra|title=Associative algebra}}
* {{매스월드|id=CommutativeAlgebra|title=Commutative algebra}}

[[분류:대수| ]]