대수적 벡터 다발 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''대수적 벡터 다발'''(代數的vector다발, {{llang|en|algebraic vector bundle}})이란 전이 함수가 [[다항함수]]인 [[벡터 다발]]의 개념이다. 이는 [[다양체]] 위의 벡터 다발의 개념과 달리 임의의 체를 계수로 하여 정의될 수 있다.

== 정의 ==
'''대수적 벡터 다발'''의 개념은 기하학적으로 어떤 특정한 [[스킴 사상]]으로 정의될 수 있으며, 어떤 특별한 [[가군층]]으로 정의될 수도 있다. 이 두 정의는 서로 [[동치]]이다.

1차원 대수적 벡터 다발은 '''대수적 선다발'''({{llang|en|algebraic line bundle}})이라고 한다.

=== 스킴을 통한 정의 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* 스킴 <math>X</math>
* 자연수 <math>n</math>

만약 다음 조건들이 성립한다면, <math>\pi</math>를 <math>n</math>차원 '''대수적 벡터 다발'''이라고 한다.
* 스킴 <math>E</math>
* [[전사 함수]]인 [[스킴 사상]] <math>\pi\colon E\to X</math>
* <math>X</math>의 어떤 [[열린 덮개]] <math>\mathcal U=\{U_i\}_{i\in I}</math>
* 각 <math>i\in I</math>에 대하여, 스킴 동형 사상 <math>\pi^{-1}(U_i)\to \mathbb A^n_{U_i} = \mathbb A^n_{\mathbb Z}\times U_i</math>
이 조건은 다음을 만족시켜야 한다.
* 임의의 <math>i,j\in I</math> 및 아핀 [[열린 부분 스킴]] <math>\operatorname{Spec}R \hookrightarrow U_i \cap U_j</math>에 대하여, 이로 유도되는 가환환 준동형 <math>R[x_1,\dotsc,x_n] \to R[y_1,\dotsc,y_n]</math>은 어떤 [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n,n;R)</math>에 대하여 <math>r\mapsto r\;\forall r\in R</math>, <math>x_i \mapsto \textstyle\sum_{i=1}^nx_iM_{ij}</math>로 주어진다. 또한, 이는 환의 [[동형 사상]]이어야 한다. 즉, <math>M</math>은 [[가역 행렬]]이다.
같은 스킴 <math>X</math> 위의 두 대수적 벡터 다발 <math>(E,\pi,\mathcal U)</math>, <math>(E',\pi',\mathcal U')</math> 사이의 '''동형 사상'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>X</math>-스킴의 동형 사상 <math>\iota\colon E/X\to E'/X</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* <math>(E,\pi, \mathcal U\cap\mathcal U')</math>은 대수적 벡터 다발을 이룬다.

=== 층 이론을 통한 정의 ===
[[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 '''국소 자유 가군층'''은 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal E</math> 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\mathcal E \restriction U_i \cong (\mathcal O_X\restriction U)^{\oplus n}</math>인 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>과 [[열린 근방]] <math>U\ni x</math>dㅣ 존재한다.

[[환 달린 공간]] <math>(X,\mathcal O_X)</math> 위의 <math>n</math>차원 '''대수적 벡터 다발'''(또는 '''유한 계수 국소 자유층''')은 <math>\mathcal O_X</math>-[[가군층]] <math>\mathcal E</math> 가운데 다음 조건을 만족시키는 것이다.
* 어떤 [[열린 덮개]] <math>(U_i)_{i\in I}</math>에 대하여, 다음이 성립한다.
*:<math>\forall i\in I\colon\mathcal E \restriction U_i \cong (\underbrace{\mathcal O_X\oplus\dotsb\oplus\mathcal O_X}_n) \restriction U_i</math>
즉, 이는 국소 자유 가군층 가운데 계수가 일정하며 유한한 것이다.

=== 두 정의 사이의 관계 ===
층 이론을 통한 정의는 임의의 [[환 달린 공간]]에 대하여 정의되며, 반대로 스킴을 통한 정의는 스킴에 대해서만 정의된다. 스킴은 [[환 달린 공간]]의 특수한 경우이며, 스킴의 경우 이 두 정의는 서로 동치이다.<ref name="Hartshorne">{{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=Algebraic geometry|저자링크=로빈 하츠혼|출판사=Springer| isbn =  978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}</ref>{{rp|128–129, Exercise Ⅱ.5.18}} 구체적으로, 스킴을 통한 정의에서, 대수적 벡터 다발 <math>\pi \colon E \to X</math>의 단면들은 [[가군층]]을 이루며, 이 가군층은 층을 통한 정의에 부합한다.

== 성질 ==
[[가가 정리]]에 따라서, [[복소수]] [[사영 대수다양체]]에 대응되는 콤팩트 [[복소다양체]] 위의 모든 [[해석적 벡터 다발]]은 대수적 벡터 다발로 주어진다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Vector bundle, algebraic}}
* {{nlab|id=algebraic vector bundle|title=Algebraic vector bundle}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:층론]]