대수적 독립 집합 문서 원본 보기

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[[대수적 수론]]에서 '''대수적 독립 집합'''(代數的獨立集合, {{llang|en|algebraically independent set}})은 어떤 부분체 계수의 자명하지 않은 [[다항식]]을 만족시키지 않는, [[체 (수학)|체]]의 [[부분 집합]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>L</math>의 [[부분환]]인 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>가 주어졌다고 하자. (즉, <math>L/K</math>는 [[체의 확대]]이다.)

<math>L</math>의 [[부분 집합]] <math>S\subseteq L</math>에 대하여, 다음 두 조건이 (정의에 따라) 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 <math>L/K</math>에 대한 '''대수적 독립 집합'''이라고 한다.
* 임의의 <math>s \in S</math>에 대하여, <math>K\cup S\setminus \{s\}</math>로 생성되는 체 <math>K\le \tilde K \le L</math>를 생각한다면, <math>s</math>는 <math>\tilde K</math>의 [[초월원]]이다.
* 임의의 자연수 <math>n\in\mathbb N</math> 및 다항식 <math>p\in K[x_0,x_1,x_2,\dotsc,x_n]</math> 및 <math>s_0,s_1,s_2,\dotsc,s_n</math>에 대하여, 만약 <math>p(s_0,s_1,\dotsc,s_n) = 0</math>이라면, <math>s_0 = s_i</math>인 <math>i\in\{1,\dotsc,n\}</math>가 존재하거나, <math>\partial p/\partial x_0 = 0</math>이다.

== 성질 ==
<math>\mathbb R/\mathbb Q</math>에 대한 대수적 독립 [[유한 집합]] <math>S</math>가 주어졌으며, <math>S</math>가 <math>\mathbb Q</math>에 대하여 [[선형 독립 집합]]이라고 하자. '''린데만-바이어슈트라스 정리'''(Lindemann-Weierstraß定理, {{llang|en|Lindemann–Weierstrass theorem}})에 따르면, <math>\{\exp s\colon s\in S\}</math> 역시 <math>\mathbb R/\mathbb Q</math>에 대한 대수적 독립 집합이다.

== 예 ==
[[체의 확대]] <math>\mathbb R/\mathbb Q</math> 속에서, 정의에 따라, [[한원소 집합]] <math>\{x\}</math>이 대수적 독립 집합일 [[필요 충분 조건]]은 <math>x</math>가 [[초월수]]인 것이다.

<math>\mathbb R/\mathbb Q</math>에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합이다.
* <math>\{\pi\}</math>
* <math>\{\mathrm e\}</math>
<math>\mathbb R/\mathbb Q</math>에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합이 아니다.
* <math>\{\sqrt3+3/4\}</math>
* <math>\{\pi,\sqrt3+3/4\}</math>
* <math>\{\sqrt\pi,2\pi+1\}</math>. 예를 들어, <math>p(x,y) = 2x^2 - y + 1</math>에 대하여 <math>p(\sqrt\pi,2\pi+1) = 0</math>이다.
* <math>\{\pi,\exp\pi,\Gamma(1/4)\}</math>
* <math>\{\pi,\exp(\pi\sqrt3),\Gamma(1/3)\}</math>
* 임의의 양의 정수 <math>n</math>에 대하여, <math>\{\pi,\exp(\pi\sqrt n)\}</math>
2018년 기준으로, <math>\mathbb R/\mathbb Q</math>에 대하여, 다음 집합들은 대수적 독립 집합인지 여부가 알려지지 않았다.
* <math>\{\pi+\mathrm e\}</math>
* <math>\{\pi,\mathrm e\}</math>

== 역사 ==
린데만-바이어슈트라스 정리는 [[카를 바이어슈트라스]]가 1885년에 증명하였다.<ref>{{저널 인용|성=Weierstraß|이름= Karl|저자링크=카를 바이어슈트라스|날짜=1885|제목=Zu Lindemann’s Abhandlung “Über die Ludolph’sche Zahl”|저널=Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin|권=5|쪽= 1067–1085|언어=de}}</ref>

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=AlgebraicallyIndependent|title=Algebraically independent}}
* {{매스월드|id=Lindemann-WeierstrassTheorem|title=Lindemann-Weierstrass theorem}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수적 수론]]
[[분류:매트로이드 이론]]