대수적으로 닫힌 체 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[추상대수학]]에서 '''대수적으로 닫힌 체'''(代數的으로 닫힌 體, {{llang|en|algebraically closed field}})는 모든 다항식을 1차 다항식으로 [[인수 분해]]할 수 있는 [[체 (수학)|체]]이다.

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 체를 '''대수적으로 닫힌 체'''라고 한다.
* [[다항식환]] <math>K[t]</math>의 임의의 원소 <math>p(t)\in K[t]</math>에 대하여, <math>p(t_0)=0</math>인 <math>t_0\in K</math>가 항상 적어도 하나가 존재한다.
* <math>K[x]</math>의 [[기약 다항식]]이 모두 일차식이다.
* <math>K</math>의 [[대수적 확대]]가 <math>K</math> 자신밖에 존재하지 않는다.
* 임의의 <math>K^n</math>에 대해, <math>K^n \to K^n</math>인 [[선형 변환]]은 항상 어떠한 [[고윳값]]을 가진다. (이것은 해당 선형 변환의 [[특성 다항식]]이 어떠한 근을 가진다는 것과 동치이기 때문에 성립한다.)

체 <math>K</math>의 '''대수적 폐포'''(代數的閉包, {{llang|en|algebraic closure}}) <math>\bar K</math>는 <math>K</math>를 포함하는, 대수적으로 닫힌 [[대수적 확대]] <math>\bar K/K</math>이다. 대수적 폐포는 항상 존재한다. 주어진 체 <math>K</math>의 대수적 폐포들은 모두 서로 [[동형]]이지만, 이러한 동형은 표준적({{llang|en|canonical}})이지 않다. 엄밀하게 말하면, 대수적 폐포는 체의 범주에서 체의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]를 이루지 않는다.
{{증명|부제=존재, 초른 보조정리를 통한 증명}}
대수적 폐포의 존재는 [[초른 보조정리]]를 사용하여 보일 수 있다. 임의의 체 <math>K</math>가 주어졌다고 하자. 집합론적 문제를 피하기 위해,
:<math>|X|>\max\{|K|,\aleph_0\}</math>
인 [[집합]] <math>X</math>를 잡고, <math>\operatorname{AlgExt}(X;K)</math>가 다음 조건들을 만족시키는 [[대수적 확대]] <math>L/K</math>들의 집합이라고 하자.
* <math>K\subseteq L\subseteq X</math>
* 체의 매장 <math>K\hookrightarrow L</math>은 포함 함수로 주어진다.
이제, <math>L/K,L'/K\in\operatorname{AlgExt}(X;K)</math>에 대하여, 만약 포함 함수 <math>L\to L'</math>이 체의 매장이라면, <math>L\le L'</math>이라고 정의하자. 그렇다면 <math>\operatorname{AlgExt}(X;K)</math>는 이 이항 관계에 따라 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 임의의 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>(L_i)_{i\in I}</math>에 대하여,
:<math>L=\bigcup_{i\in I}L_i</math>
는 체를 이루며, <math>K</math>의 [[대수적 확대]]이며, 사슬 <math>(L_i)_{i\in I}</math>의 상계를 이룬다. [[초른 보조정리]]에 따라, [[극대 원소]] <math>\bar K/K</math>가 존재한다. <math>\bar K</math>는 그 정의에 따라 <math>K</math>의 [[대수적 확대]]를 이룬다. <math>L/\bar K</math>가 [[대수적 확대]]이며, 편의상 체의 매장 <math>\bar K\hookrightarrow L</math>이 포함 함수로 주어진다고 가정하자. 그렇다면,
:<math>|L|\le\max\{|K|,\aleph_0\}</math>
이다. (왜냐하면, 임의의 [[대수적 원소]]에 [[최소 다항식]]을 대응시킬 수 있고, 같은 다항식에 대응하는 원소의 수는 다항식의 차수를 넘지 않기 때문이다.) 따라서,
:<math>\begin{align}
|L\setminus\bar K|
 & \le|L| \\
 & \le\max\{|K|,\aleph_0\} \\
 & <|X| \\
 & =|X\setminus\bar K|+|\bar K| \\
 & =\max\{|X\setminus\bar K|,|\bar K|\} \\
 & =|X\setminus\bar K| \\
\end{align}
</math>
이다. (마지막 등식은 <math>|\bar K|<|X|=\max\{|X\setminus\bar K|,|\bar K|\}</math> 때문이다.) 이에 따라, 체의 확대의 동형
:<math>L/\bar K\xrightarrow{\cong}\tilde L/\bar K</math>
이 존재하는 <math>\tilde L/K\in\operatorname{AlgExt}(X;K)</math>가 존재한다. 그렇다면, <math>\tilde L/\bar K</math>는 [[대수적 확대]]이며, 체의 매장 <math>\bar K\hookrightarrow L</math>은 (포함 함수 <math>\bar K\hookrightarrow L</math>과 <math>\bar K</math>의 확대의 동형 <math>L/\bar K\xrightarrow{\cong}\tilde L/\bar K</math>의 합성이므로) 포함 함수이다. 즉, <math>\bar K\le\tilde L</math>이다. <math>\bar K</math>는 [[극대 원소]]이므로, <math>\tilde L=\bar K</math>이며, 따라서 <math>L=\bar K</math>이다. 즉, <math>\bar K</math>는 대수적으로 닫힌 체이며, <math>K</math>의 대수적 폐포를 이룬다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=존재, 환론적 증명}}
만약 <math>L/K</math>가 [[대수적 확대]]이며, <math>K[x]</math> 속 모든 다항식이 <math>L</math> 속에서 근을 갖는다면, <math>L</math>은 <math>K</math>의 대수적 폐포이다. 실제로, 만약 <math>M/L</math>이 [[대수적 확대]]라면, <math>M/K</math> 역시 [[대수적 확대]]이다. 따라서, <math>M</math>의 임의의 원소는 <math>K[x]</math> 속 어떤 다항식의 근이며, 가정에 따라 <math>L</math>에 속한다.

대수적 폐포는 다항식의 근을 주어진 체에 거듭 추가하여 구성할 수 있다. 임의의 체 <math>K</math> 및 기약 다항식 <math>p\in K[x]</math>에 대하여, [[몫환]]
:<math>K[x]/(p(x))</math>
는 체이며, [[환 준동형]]
:<math>K\to K[x]/(p(x))</math>
:<math>a\mapsto a\bmod(p(x))</math>
은 체의 확대를 이룬다. 또한, <math>x\in K[x]</math>의 상은 <math>p</math>의 상의 근이며, 체를 생성한다.

이제, 무한 개의 <math>K</math>-대수의 [[텐서곱]]
:<math>\bigotimes_{p\in\operatorname{irr}(K[x])}K[x]/(p(x))=\varinjlim_{{{\scriptstyle S\subseteq\operatorname{irr}(K[x])}\atop{\scriptstyle|S|<\aleph_0}}}\bigotimes_{p\in S}K[x]/(p(x))</math>
을 생각하자. 이는 유한 개의 <math>K</math>-대수의 [[텐서곱]]들의 [[귀납적 극한]]으로 주어지며, 여기에 사용된 <math>K</math>-대수 준동형들은 다음과 같다.
:<math>\bigotimes_{p\in S}K[x]/(p(x))\to\bigotimes_{p\in T}K[x]/(p(x))</math>
:<math>\bigotimes_{p\in S}a_p\mapsto\bigotimes_{p\in S}a_p\otimes\bigotimes_{p\in T\setminus S}1</math>
자연스러운 <math>K</math>-대수 준동형
:<math>K[x]/(p(x))\to\bigotimes_{q\in\operatorname{irr}(K[x])}K[x]/(q(x))</math>
:<math>a_p\mapsto a_p\otimes\bigotimes_{q\ne p}1</math>
들이 존재하며, 그 상들은 무한 텐서곱을 생성한다. <math>B_p=\{1,\alpha_p,\dots,\alpha_p^{\deg p-1}\}</math>가 <math>K</math>-대수 <math>K[x]/(p(x))</math>의 [[기저 (위상수학)|기저]]라고 하자. 그렇다면, 무한 텐서곱은 다음과 같은 기저를 갖는다.
:<math>B=\left\{\bigotimes_{p\in\operatorname{irr}(K[x])}\alpha_p^{i_p}\colon 0\le i_p\le\deg p-1,\;|\{p\colon i_p\ne0\}|<\aleph_0\right\}</math>
특히, <math>K[x]/(p(x))\ne0</math>이므로, 무한 텐서곱은 0이 아니다. [[선택 공리]]에 따라, 무한 텐서곱의 [[극대 아이디얼]] <math>\mathfrak m</math>이 존재한다. 이 경우,
:<math>\bar K=\left(\bigotimes_{p\in\operatorname{irr}(K[x])}K[x]/(p(x))\right)/\mathfrak m</math>
는 체를 이루며, 자연스러운 체의 확대 <math>K[x]/(p(x))\hookrightarrow\bar K</math>들이 존재하며, 그 상들은 체 <math>\bar K</math>를 생성한다. 두 체의 확대의 합성
:<math>K\hookrightarrow K[x]/(p(x))\hookrightarrow\bar K</math>
로 주어지는 체의 확대는 <math>p</math>의 선택과 무관하게 같다. 두 체의 확대가 대수적 확대이므로, <math>\bar K/K</math>도 대수적 확대이다. 임의의 [[기약 다항식]] <math>p\in K[x]</math>는 <math>K[x]/(p(x))</math>에서 근을 가지므로, <math>\bar K</math>에서 근을 갖는다. 즉, <math>\bar K</math>는 대수적으로 닫힌 체이며, <math>K</math>의 대수적 폐포이다.
{{증명 끝}}
{{증명|부제=유일성}}
같은 체의 두 대수적 폐포
:<math>\bar K/K</math>
:<math>\bar K'/K</math>
가 주어졌다고 하자. <math>\operatorname{PartIsom}(\bar K/K,\bar K'/K)</math>가 다음과 같은 데이터로 이루어진 [[순서쌍]] <math>(L,\iota)</math>들의 집합이라고 하자.
* <math>L/K</math>는 <math>\bar K/K</math>의 부분 확대이다.
* <math>\iota\colon L/K\to\bar K'/K</math>는 체의 확대의 매장(즉, <math>K</math>-대수 준동형)이다.
이제, <math>(L,\iota),(L',\iota')\in\operatorname{PartIsom}(\bar K/K,\bar K'/K)</math>에 대하여, 만약
:<math>\iota_{LL'}\circ\iota=\iota'</math>
인 체의 확대의 매장 <math>\iota_{LL'}\colon L/K\hookrightarrow L'/K</math>가 존재한다면, <math>(L,\iota)\le(L',\iota')</math>이라고 정의하자. 그렇다면, <math>\operatorname{PartIsom}(\bar K/K,\bar K'/K)</math>는 [[부분 순서 집합]]을 이룬다. 임의의 [[사슬 (순서론)|사슬]] <math>((L_i,\iota_i))_{i\in I}</math>에 대하여, 이러한 체의 확대의 매장
:<math>\iota_{ij}\colon L_i/K\hookrightarrow L_j/K</math>
들을 고르면, [[귀납적 극한]]
:<math>L=\varinjlim_{i\in I}L_i</math>
:<math>\phi_i\colon L_i/K\hookrightarrow L/K\qquad(i\in I)</math>
을 정의할 수 있다. (체의 확대의 매장을 포함 함수로 여기는 경우, 이는 단순히 사슬에 속하는 체들의 [[합집합]]이다.) 체의 확대의 매장 <math>\iota_i\colon L_i/K\hookrightarrow\bar K'/K</math>들은 <math>\iota\circ\phi_i=\iota_i</math>인 <math>L</math>의 매장 <math>\iota\colon L/K\to\bar K'/K</math>을 유도한다. <math>\le</math>의 정의에 따라 <math>(L_i,\iota_i)\le(L,\iota)</math>이다. 즉, <math>(L,\iota)</math>는 사슬의 상계이다. [[초른 보조정리]]에 따라, [[극대 원소]] <math>(L,\iota)</math>가 존재한다. 이제, 다음 두 가지를 보이면 충분하다.
* <math>L=\bar K</math>
** 만약 <math>\alpha\in\bar K\setminus L</math>이라면, <math>\alpha</math>의 [[최소 다항식]] <math>p_a\in K[x]</math>는 <math>\bar K'</math>에서도 근 <math>\alpha'\in\bar K'</math>을 갖는다. 따라서, <math>\iota\colon L/K\hookrightarrow\bar K'/K</math>를 확장하는, <math>\alpha\mapsto\alpha'</math>인 유일한 매장 <math>L(\alpha)/K\hookrightarrow\bar K'/K</math>가 존재한다. 그런데 <math>(L,\iota)</math>가 [[극대 원소]]이므로, 이는 불가능하다.
* <math>\iota(\bar K)=\bar K'</math>
** <math>\bar K</math>가 대수적으로 닫힌 체이므로, <math>\iota(\bar K)</math>도 대수적으로 닫힌 체이다. <math>\bar K'/K</math>가 대수적 확대이므로, <math>\bar K'/\iota(\bar K)</math>도 대수적 확대이다. 따라서, <math>\iota(\bar K)=\bar K'</math>이다.
{{증명 끝}}

== 분류 ==
두 대수적으로 닫힌 체 <math>K</math>와 <math>K'</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>K</math>와 <math>K'</math>은 [[체 (수학)|체]]로서 서로 [[동형]]이다.
* <math>K</math>와 <math>K'</math>은 같은 [[체의 표수|표수]]를 가지며, 또한 같은 절대 [[초월 차수]]([[대수 독립 집합]]의 최대 크기)를 갖는다.
따라서, 대수적으로 닫힌 체들은 표수 <math>p</math>와 초월 차수 <math>\kappa</math>로 완전히 분류된다. 즉, 모든 대수적으로 닫힌 체들은
:<math>\overline{\mathbb F_p(\{x_i\}_{i\in I})}</math>
또는
:<math>\overline{\mathbb Q(\{x_i\}_{i\in I})}</math>
의 꼴로 나타낼 수 있다. 예를 들어, [[복소수체]]는 초월 차수가 <math>2^{\aleph_0}</math>인 표수 0의 대수적으로 닫힌 체이므로,
:<math>\mathbb C\cong\overline{\mathbb Q(\{x_i\}_{i\in 2^{\aleph_0}})}</math>
이다.

== 성질 ==
절대 초월 차수가 [[기수 (수학)|기수]] <math>\kappa</math>인 대수적으로 닫힌 체 <math>K</math>의 [[집합의 크기]]는 다음과 같다.
:<math>|K|=\max\{\kappa,\aleph_0\}</math>
즉, 모든 대수적으로 닫힌 체는 [[무한 집합]]이다. 이는 <math>\kappa>\aleph_0</math>이면 절대 초월 차수와 같으므로, [[비가산 집합|비가산]] 대수적으로 닫힌 체들은 [[집합의 크기]]와 [[체의 표수]]에 따라 분류된다. (물론, 이는 [[가산 집합|가산]] 대수적으로 닫힌 체에 대해서는 성립하지 않는다.)

== 예 ==
=== 표수 0 ===
* [[복소수체]]는 대수적으로 닫혀 있다. 즉, 복소수 계수로 이루어진 임의의 다항방정식에는 복소수 해가 존재한다. 이것은 [[대수학의 기본 정리]]로 알려져 있다.
* [[실수체]]는 대수적으로 닫힌 체가 아니다. 예를 들어, 변수 <math>x</math>에 대한 다항방정식 <math>x^2+1 = 0</math>은 실수근을 갖지 않는다. [[실수체]]의 대수적 폐포는 [[복소수체]]다. ([[대수학의 기본 정리]])
* [[유리수체]]는 대수적으로 닫힌 체가 아니며, 그 대수적 폐포는 [[대수적 수]]의 체이다.

=== 양의 표수 ===
모든 [[유한체]]는 대수적으로 닫혀 있지 않다. 체의 원소가 <math>a_1, a_2, \cdots, a_n</math>인 경우, 다항식 <math>(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)+1</math>은 해를 갖지 않는다. [[소수 (수론)|소수]] <math>p</math>의 크기를 가진 [[유한체]] <math>\mathbb F_p</math>의 대수적 폐포 <math>\bar{\mathbb F}_p</math>는 [[귀납적 극한]]
:<math>\bar{\mathbb F}_p=\varinjlim \mathbb F_{p^n}</math>
이다. 즉, 만약 [[체의 확대]]
:<math>\mathbb F_{p^n}\hookrightarrow\mathbb F_{p^{kn}}</math>
을 [[집합론]]적 [[부분집합]]으로 간주하여
:<math>\mathbb F_{p^n}\subset\mathbb F_{p^{kn}}</math>
로 쓴다면,
:<math>\bar{\mathbb F}_p=\bigcup_{n=1}^\infty\mathbb F_{p^n}</math>
이다.

== 참고 문헌==
* {{서적 인용|저자링크=서지 랭|이름=Serge|성=Lang|제목=Algebra|출판사=Springer|날짜=2004|isbn=0-387-95385-X|언어=en}}
* {{서적 인용|저자링크=바르털 레인더르트 판데르바르던|이름=B. L.|성=van der Waerden|제목=Algebra I|출판사=Springer|날짜=1991|isbn=0-387-97424-5|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Algebraically closed field}}
* {{eom|title=Algebraic closure}}
* {{매스월드|id=AlgebraicallyClosed|title=Algebraically closed}}
* {{매스월드|id=AlgebraicClosure|title=Algebraic closure}}
* {{웹 인용|url=http://mathoverflow.net/questions/136233/to-what-extent-can-fields-be-classified|제목=To what extent can fields be classified?|출판사=Math Overflow|언어=en}}
* {{웹 인용|url=http://ncatlab.org/nlab/show/algebraically+closed+field|제목=Algebraically closed field|웹사이트=nLab|언어=en}}

== 같이 보기 ==
* [[분해 가능 폐포]]

{{전거 통제}}

[[분류:체론]]