대각 행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''대각 행렬'''(對角行列, {{llang|en|diagonal matrix}})은 [[주대각선]] 성분이 아닌 모든 성분이 0인 [[정사각 행렬]]이다.<ref name="Golub">{{서적 인용|성1=Golub|이름1=Gene H.|성2=Van Loan|이름2=Charles F.|제목=Matrix computations|url=https://archive.org/details/matrixcomputatio0004golu|언어=en|판=4|총서=Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences|출판사=The Johns Hopkins University Press|위치=Baltimore|날짜=2013|isbn=978-1-4214-0794-4|mr=3024913|zbl=1268.65037|lccn=2012943449}}</ref><ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref><ref name="Kharab">{{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach|번역제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8}}</ref>{{rp|100}}

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>D\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 행렬을 '''대각 행렬'''이라고 한다.
* 임의의 <math>i,j\in\{1,\dots,n\}</math>에 대하여, 만약 <math>i\ne j</math>라면, <math>D_{ij}=0</math>
* <math>D</math>는 [[상삼각 행렬]]이며, 동시에 [[하삼각 행렬]]이다.

각 <math>i</math>번째 대각 성분이 <math>d_i\in R</math>인 대각 행렬은 다음과 같이 표기할 수 있다.
:<math>\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)=
\begin{pmatrix}
d_1 \\
& d_2 \\
& & \ddots \\
& & & d_n
\end{pmatrix}
</math>

마찬가지로, 임의의 크기 <math>m\times n</math>의 대각 행렬을 정의할 수 있으며, 이 경우 다음과 같은 표기를 사용할 수 있다.<ref name="Golub" />{{rp|18, §1.2.6}}
:<math>\operatorname{diag}_{m\times n}(d_1,\dots,d_{\min\{m,n\}})</math>

== 성질 ==
=== 대칭성과 반대칭성 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 모든 대각 행렬 <math>D\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>는 [[대칭 행렬]]이자 [[반대칭 행렬]]이다.

[[환의 표수|표수]]가 2가 아닌 [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 [[정사각 행렬]] <math>D\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>D</math>는 대각 행렬이다.
* <math>D</math>는 [[대칭 행렬]]이며, 또한 [[반대칭 행렬]]이다.

(표수 2의 환 위에서는 [[대칭 행렬]]과 [[반대칭 행렬]]이 [[동치]]이며, 이는 일반적으로 대각 행렬과 [[동치]]가 아니다.)

=== 고윳값 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 대각 행렬 <math>D\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 [[고윳값]]은 대각 성분들이다. 각 고윳값의 기하적 중복도는 대수적 중복도와 일치하며, 이는 단순히 대각 성분이 나타난 횟수이다.

=== 대각화 ===
{{본문|대각화 가능 행렬}}
[[환 (수학)|환]] <math>R</math> 위의 모든 대각 행렬 <math>D\in\operatorname{Mat}(n;R)</math>는 자명하게 [[대각화 가능 행렬]]이다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>M</math>은 대각화 가능 행렬이다.
* <math>M</math>의 모든 [[고윳값]]의 기하적 중복도는 그 대수적 중복도와 일치한다.
* <math>M</math>의 [[최소 다항식]]은 1차 다항식들의 곱이다.

=== 직교 대각화와 유니터리 대각화 ===
{{본문|대칭 행렬}}
{{본문|정규 행렬}}
실수 [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb R)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="HoffmanKunze"/>{{rp|}}{{rp|315, §8.5}}
* <math>M</math>은 [[직교 대각화 가능 행렬]]이다. 즉, <math>Q^{-1}MQ</math>가 대각 행렬이 되는 실수 [[직교 행렬]] <math>Q\in\operatorname O(n;\mathbb R)</math>가 존재한다.
* <math>M</math>은 [[대칭 행렬]]이다.

복소수 [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb C)</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="HoffmanKunze"/>{{rp|}}{{rp|311–317, §8.5}}
* <math>M</math>은 [[유니터리 대각화 가능 행렬]]이다. 즉, <math>U^{-1}MU</math>가 대각 행렬이 되는 [[유니터리 행렬]] <math>U\in\operatorname U(n)</math>이 존재한다.
* <math>M</math>은 [[정규 행렬]]이다.

복소수 [[정사각 행렬]] <math>D\in\operatorname{Mat}(n;\mathbb C)</math>에 대하여, 다음 세 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref name="HoffmanKunze"/>{{rp|}}{{rp|315–316, §8.5, Theorem 20}}
* <math>D</math>는 대각 행렬이다.
* <math>D</math>는 [[상삼각 행렬]]이며, [[정규 행렬]]이다.
* <math>D</math>는 [[하삼각 행렬]]이며, [[정규 행렬]]이다.
특히, 대각 행렬이 아닌 복소수 상·하삼각 행렬은 [[유니터리 대각화 가능]]하지 않다.

== 예 ==
모든 [[스칼라 행렬]]은 대각 행렬이다. 특히, [[단위 행렬]]과 [[영행렬]]은 대각 행렬이다.

다음 실수 <math>4\times 4</math> 정사각 행렬은 대각 행렬이다.
:<math>\begin{pmatrix}
2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & -1
\end{pmatrix}
</math>

다음 실수 <math>5\times 3</math> 행렬은 대각 행렬이다.
:<math>
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 6 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

다음 실수 <math>2\times 4</math> 행렬은 대각 행렬이다.
:<math>
\begin{pmatrix}
9 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 & 0
\end{pmatrix}
</math>

== 같이 보기 ==
* [[띠행렬]]
* [[반대각 행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|제목=Diagonal matrix}}
* {{매스월드|id=DiagonalMatrix|제목=Diagonal matrix}}

[[분류:성긴 행렬]]