대각화 가능 행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''대각화 가능 행렬'''(對角化可能行列, {{llang|en|diagonalizable matrix}})은 적절한 [[가역 행렬]]로의 켤레를 취하여 [[대각 행렬]]로 만들 수 있는 [[정사각 행렬]]이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <Math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''대각화 가능 행렬'''이라고 한다.
* <math>G^{-1}MG</math>이 [[대각 행렬]]이 되는 [[가역 행렬]] <math>G \in\operatorname{Unit}(\operatorname{Mat}(n;K))</math>이 존재한다.

== 성질 ==
=== 연산에 대한 닫힘 ===
[[환 (수학)|환]] <math>K</math> 위의 [[정사각 행렬]] <math>M \in \operatorname{Mat}(n;K)</math>이 대각화 가능 행렬이라면, 임의의 [[자연수]] <math>k\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>M^k\in\operatorname{Mat}(n;K)</math> 역시 대각화 가능 행렬이다.
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'''증명:'''
<div class="mw-collapsible-content">
만약 <math>G\in\operatorname{Unit}(\operatorname{Mat}(n;K))</math>에 대하여 <math>G^{-1}MG = \operatorname{diag}(a_1,\dotsc,a_n)</math>가 [[대각 행렬]]이라고 하자. 그렇다면,
:<math>\operatorname{diag}(a_1^k,\dotsc,a_n^k) = 
\operatorname{diag}(a_1,\dotsc,a_n)^k 
=(G^{-1}MG)^k
=G^{-1}M^kG</math>
이다.
</div></div>

또한, 만약 추가로 <math>K</math>가 [[대수적으로 닫힌 체]]이며 <math>M</math>이 [[가역 행렬]]이라면, 임의의 [[정수]] <math>k\in\mathbb Z</math>에 대하여 <math>M^k\in\operatorname{Mat}(n;K)</math> 역시 대각화 가능 행렬이다.

그러나 대각화 가능 행렬의 합이나 곱은 (심지어 [[복소수체]] 위에서도) 일반적으로 대각화 가능 행렬이 아니다.

=== 필요 조건과 충분 조건 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.
* <math>M</math>은 대각화 가능 행렬이다.
* <math>M</math>의 [[고유 공간]]들의 차원들의 합이 <math>n</math>이다.
* <math>p(M) = 0</math>이 되는 최소차 [[일계수 다항식]] <math>p \in K[x]</math>의 차수가 <math>k</math>라고 할 때, <math>p</math>는 <math>k</math>개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근들을 갖는다.

체 <Math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]] <math>M\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>에 대하여 다음 조건을 만족시키는 행렬은 대각화 가능 행렬이다.
* 고유 다항식 <math>\chi_M(x) = \det(x-M) \in K[x]</math>은 <math>n</math>개의 서로 다른 (중복되지 않는) 근을 갖는다.
이는 [[충분 조건]]이지만, [[필요 조건]]이 아니다.

=== 대각화 가능 행렬의 밀도 ===
[[복소수체]] 위에서, 대각화 가능 행렬들의 부분 공간은 <math>n^2</math>차원 [[아핀 공간]] <math>\operatorname{Mat}(n;\mathbb C)</math>의 부분 공간을 이루며, 그 [[여집합]]은 [[영집합]]이다 (그 [[르베그 측도]]가 0이다). 즉, 거의 모든 복소수 [[정사각 행렬]]은 대각화 가능 행렬이다.

반면, [[실수체]] 위에서, 만약 <math>n\ge2</math>일 경우 이는 더 이상 성립하지 않는다.

=== 동시 대각화 ===
[[환 (수학)|환]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]들의 족 <math>\mathcal M\subseteq\operatorname{Mat}(n;K)</math>이 주어졌다고 하자. 만약 다음 조건을 만족시키는 [[가역 행렬]] <math>G \in\operatorname{Unit}(\operatorname{Mat}(n;K))</math>이 존재한다면, <math>\mathcal M</math>을 '''동시 대각화 가능 행렬족'''(同時對角化可能行列族, {{llang|en|simultaneously diagonalizable family of matrices}})이라고 한다.
* 임의의 <math>M\in\mathcal M</math>에 대하여, <math>G^{-1}MG</math>는 [[대각 행렬]]이다.

[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> [[정사각 행렬]]들의 족 <math>\mathcal M\subseteq\operatorname{Mat}(n;K)</math>에 대하여, 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="HoffmanKunze">{{서적 인용|성1=Hoffman|이름1=Kenneth|성2=Kunze|이름2=Ray|제목=Linear algebra|url=https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0|언어=en|판=2|출판사=Prentice-Hall|위치=Englewood Cliffs, N. J.|날짜=1971|isbn=0-13-536797-2|mr=0276251|zbl=0212.36601|id={{iaid|LinearAlgebraHoffmanAndKunze}}}}</ref>{{rp|206, §6.5; 207, §6.5, Theorem 3}}
* <math>\mathcal M</math>은 동시 대각화 가능 행렬족이다.
* <math>M</math>의 모든 원소는 대각화 가능 행렬이며, <math>\mathcal M</math>은 가환 행렬족이다 (즉, 임의의 <math>M,N\in\mathcal M</math>에 대하여 <math>MN=NM</math>).

== 예 ==
모든 [[대각 행렬]]은 대각화 가능 행렬이다. 특히, 모든 1×1 행렬은 자명하게 대각화 가능 행렬이다.

=== 대각화 불가능 행렬 ===
임의의 체 <math>K</math>에서, 행렬
:<math>\begin{pmatrix}
0&1\\
0&0
\end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2;K)</math>
은 대각화될 수 없다. 이 행렬의 고윳값은 0 밖에 없으며, 그 고유 공간은 1차원이다.

다음과 같은 행렬을 생각하자.
:<math>\begin{pmatrix}
0&1\\
-1&0
\end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(2;K)</math>
<math>K</math>가 [[체 (수학)|체]]일 때, 이 행렬이 대각화 가능 행렬이 될 [[필요 충분 조건]]은 다음과 같다.
* <math>K</math>에서 <math>-1</math>이 두 개의 제곱근을 갖는다.
즉, 만약 <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]가 2가 아니며, <math>-1</math>의 제곱근 <math>\mathrm i \in K</math>가 존재할 경우 이 행렬은 두 고윳값 <math>\pm\mathrm i</math>을 가지며, 따라서 대각화 가능 행렬이다. 만약 <math>K</math>에서 <math>-1</math>이 제곱수가 아닐 경우, 이 행렬은 [[고윳값]]을 갖지 않으며, 따라서 대각화 가능 행렬이 아니다. 만약 <math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]가 2일 경우, <math>-1=1</math>은 하나의 제곱근만을 가지며, 이 행렬은 하나의 [[고윳값]] (1)을 가지며, 그 [[고유 공간]]은 1차원이므로, 따라서 이 행렬은 대각화 가능 행렬이 아니다.

=== 대각화의 예 ===
임의의 [[환 (수학)|환]] <math>K</math>에서, 다음과 같은 행렬을 생각하자.
:<math>M=\begin{pmatrix}
1 & 2  & 0 \\
0 & 3  & 0 \\
2 & -4 & 2 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}(3;K)</math>
이는 세 개의 고윳값
:<math> \lambda_1 = 3, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3= 1 </math>
을 가져, 대각화 가능 행렬을 이룬다.

각 고윳값의 [[고유 벡터]]는 다음과 같다.
:<math>v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad v_3 = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}</math>
따라서,
:<math>P=
\begin{pmatrix}v_1&v_2&v_3\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
-1 & 0 & -1 \\
-1 & 0  & 0 \\
2 & 1 & 2 \end{pmatrix}</math>
:<math>P^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1&0\\2&0&1\\-1&1&0\end{pmatrix}</math>
를 정의하면,
:<math>P^{-1}MP = \operatorname{diag}(3,2,1)</math>
이 된다.

== 같이 보기 ==
* [[삼각행렬]]
* [[조르당 표준형]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용| last1=Anton |first1=H. |last2= Rorres|first2= C. |title=Elementary Linear Algebra (Applications Version) | url=https://archive.org/details/elementarylinear0000anto_p6f8 |publisher=John Wiley & Sons|edition=8th|date=22 Feb 2000| ISBN= 978-0-471-17052-5|언어=en}}
* {{저널 인용 | jstor=27642247 | 제목=The probability that a matrix of integers is diagonalizable | 저널=The American Mathematical Monthly | 4= | 이름1=Andrew J. | 성1=Hetzel | 이름2=Jay S. | 성2=Liew | 이름3=Kent E. | 성3=Morrison | 날짜=2007-06 | 권=114 | 호=6 | 쪽=491–499 | url=https://www.calpoly.edu/~kmorriso/Research/diagmat.pdf | 언어=en | access-date=2018-04-27 | archive-date=2015-12-02 | archive-url=https://web.archive.org/web/20151202055101/http://www.calpoly.edu/~kmorriso/Research/diagmat.pdf }}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=MatrixDiagonalization|title=Matrix diagonalization}}
* {{매스월드|id=DiagonalizableMatrix|title=Diagonalizable matrix}}

[[분류:행렬]]