당김 (미분기하학) 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{다른 뜻|당김 (범주론)|미분기하학의 개념|[[범주론]]의 개념}}
[[미분기하학]]에서 '''당김'''({{llang|en|pullback}})이란 한 다양체 위에 정의된 공변({{lang|en|covariant}}) 텐서를 다른 다양체 위에 옮겨 정의하는 방법이다.

두 [[매끄러운 다양체]] 사이의 [[매끄러운 함수]] <math>\phi\colon M\to N</math>이 주어지면, <math>N</math> 위에 존재하는 모든 공변 [[텐서]] (즉, 첨자가 모두 아랫첨자인 경우) <math>T=T_{\mu\nu\rho\dots}</math>에 대하여, <math>M</math> 위에 대응하는 텐서 <math>\phi^*T</math>를 정의할 수 있다. 이를 <math>T</math>의 당김이라고 한다. 특히, [[미분형식]]이나 (스칼라) 함수는 공변 텐서의 특수한 경우이므로, 이들을 다른 다양체로 당길 수 있다.

== 정의 ==
<math>\phi\colon M\to N</math>을 미분가능한 함수라고 하고, <math>\omega(v_1,\dots,v_k)</math>가 <math>k</math>차 공변 텐서(<math>k</math>개의 (반변) 벡터를 받는 함수)라고 하자. 그렇다면 이 데이터로부터 <math>M</math> 위에 정의된 <math>k</math>차 텐서 <math>\phi^*\omega</math>를 다음과 같이 정할 수 있다.
:<math>(\phi^*\omega)(v_1,\dots,v_k ) = \omega _{\phi(p)} (d\phi_p(v_1), \dots,d\phi_p(v_k))</math>.
여기서 <math>p\in M</math>, <math>v_i\in T_pM</math> (점 <math>p</math>에서의 [[접공간]]), <math>d\phi_p\colon T_pM\to T_{\phi(p)}N</math>은 점 <math>p</math>에서 <math>\phi</math>의 [[미분 사상]]이다.

(스칼라) 함수는 0차 공변 텐서이다. 이 경우, 함수 <math>f</math>의 당김은 [[합성함수|함수의 합성]]과 같다. 즉,
:<math>\phi^*f=f\circ\phi</math>
이다.

== 성질 ==
''f'' : '''R'''<sup>''n''</sup> &rarr; '''R'''<sup>''m''</sup>, ''g'' : '''R'''<sup>''p''</sup> &rarr; '''R'''<sup>''n''</sup>를 미분가능한 [[함수]], &alpha; 와 &beta;를 '''R'''<sup>''m''</sup>에서의 ''k''-형식, ''&gamma;'' : '''R'''<sup>''m''</sup> &rarr; '''R'''를 '''R'''<sup>''m''</sup>에서의 0-형식이라 하자. 이 때, 다음이 성립한다.
* <math> f^* (\alpha + \beta ) = f^* (\alpha)  + f^* (\beta) \;</math>
* <math> f^* (\gamma \alpha)  =  f^*(\gamma) f^*(\alpha) \;</math>
* <math> f^* (\alpha_1 \wedge \cdots \wedge \alpha_k) = f^* (\alpha_1) \wedge \cdots \wedge f^* (\alpha_k) \;</math>
:여기서 &alpha;<sub>1</sub>, &hellip;, &alpha;<sub>''k''</sub> 가 '''R'''<sup>''m''</sup>에서의 1-형식이고 ∧ 는 쐐기곱이다.
* <math> f^* (\alpha \wedge \beta) = f^* (\alpha) \wedge f^* (\beta)</math>
:여기선 &alpha; 와 &beta; 가 같은 계수를 가질 필요는 없다.
* <math> (f \circ g) ^* \alpha = g^* ( f^* \alpha)</math>

== 같이 보기 ==
* [[미분 사상]]
* [[당김 올다발]]
* [[당김 (범주론)]]
== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 |저자=Manfredo P. do Carmo|제목=Differential Forms and Applications|연도=1994|출판사=Springer-Verlag|판=|장=}}

[[분류:미분기하학]]
[[분류:텐서]]