닫힌 작용소 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[함수해석학]]에서 '''닫힌 작용소'''({{llang|en|closed operator}})는 그 그래프가 [[닫힌집합]]인, [[조밀 집합]] 위에 정의된 선형 변환이다. '''닫힐 수 있는 작용소'''({{llang|en|closable operator}})는 그 그래프의 폐포를 취하여 닫힌 작용소로 만들 수 있는 작용소이다. 이 경우, [[에르미트 수반]] 등의 연산이 잘 정의된다.<ref name="Teschl">{{서적 인용 |이름=Gerald |성=Teschl |제목=Mathematical methods in quantum mechanics with applications to Schrödinger operators |출판사=American Mathematical Society |총서=Graduate Studies in Mathematics|권=99|날짜=2009 |url=http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/ |zbl=1166.81004|mr=2499016|isbn=978-0-8218-4660-5|언어=en}}</ref>

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>E</math>
* [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>F</math>
* <math>E</math>의 [[조밀 집합|조밀]] <math>\mathbb K</math>-[[부분 벡터 공간]] <math>D \subseteq E</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]] <math>A \colon D\to F</math>
그렇다면, <math>A</math>의 '''그래프'''
:<math>\operatorname{graph}A = \{(x,Ax)\colon x\in D\} \subseteq E\oplus F</math>
를 생각할 수 있다.

<math>A</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 만약 이 조건이 성립한다면 <math>A</math>를 '''닫힌 작용소'''라고 한다.<ref name="Teschl"/>{{rp|63}}
* <math>A</math>의 그래프가 [[위상 벡터 공간]] <math>E\oplus F</math>의 [[닫힌집합]]이다.
* 임의의 <math>x\in E</math> 및 [[그물 (수학)|그물]] <math>(x_i)_{i\in I}\subseteq D</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\lim_{i\to\infty}x_i = x</math>이며 <math>\lim_{i\to\infty}Ax_i = y \in F</math>라면, <math>x\in D</math>이며 <math>y = Ax</math>이다.
물론, 만약 <math>E</math> 및 <math>F</math>가 [[프레셰 공간]]이라면, 둘째 조건에서 그물 대신 점렬을 사용해도 된다.

=== 닫힐 수 있는 작용소 ===
다음이 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>E</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[위상 벡터 공간]] <math>F</math>
* <math>E</math>의 [[조밀 집합|조밀]] <math>\mathbb K</math>-[[부분 벡터 공간]] <math>D \subseteq E</math>
* [[연속 함수|연속]] <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]] <math>A \colon D\to F</math>

이 경우, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이 조건이 성립한다면 <math>A</math>를 '''닫힐 수 있는 작용소'''라고 한다.<ref name="Teschl"/>{{rp|63}}
* <math>\operatorname{graph}\bar A = \operatorname{cl}(\operatorname{graph}A)</math>인 연속 선형 변환 <math>\bar A\colon\bar D\to F</math>이 존재한다. (여기서 <math>\bar D = \operatorname{proj}_E \operatorname{graph}\bar A</math>이다.)
* 임의의 <math>x\in E</math> 및 두 [[그물 (수학)|그물]] <math>(x_i)_{i\in I}\subseteq D</math> 및 <math>(x'_{i'})_{i'\in I'}\subseteq D</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\lim_{i\to\infty}x_i = \lim_{i'\to\infty}x_{i'} = x</math>이며 <math>\textstyle\lim_{i\to\infty}Ax_i = y</math>이며 \textstyle\lim_{i'\to\infty}x'_{i'} = y'</math>라면, <math>y=y'</math>이다.

다시 말해, 닫힐 수 있는 작용소에서는, 임의의 <math>E</math>의 원소에서 <math>A</math>의 값을 그물 또는 점렬의 극한으로 정의하려고 한다면, 이러한 가능한 정의는 (만약 가능하다면) 유일하다.

이 경우, <math>\operatorname{cl}(\operatorname{graph}A)</math>로 정의되는 작용소를 <math>\bar A</math>로 표기하며, <math>A</math>의 '''폐포'''({{llang|en|closure}})라고 한다.

== 성질 ==
<math>\mathbb K</math>-[[힐베르트 공간]] <math>H</math>의 조밀 부분 집합
:<math>D \subseteq E</math>
위의 선형 변환
:<math>A \colon H \to H</math>
의 [[에르미트 수반]]을 정의하려 한다고 하자. 이 경우, 그 수반의 [[정의역]]은
:<math>\operatorname{dom}A^* = \left\{x\in H\colon \langle x|A \in \mathcal H^* \cong \mathcal H\right\}</math>
이다. 이것이 [[조밀 집합]]일 [[필요 충분 조건]]은 <math>A</math>가 닫힐 수 있는 작용소인 것이다.

이 경우, <math>A</math>가 닫힐 수 있는 작용소일 때
:<math>\bar A = A^{**}</math>
이다. 즉, 닫힌 작용소의 경우 <math>A = \bar A = A^{**}</math>이다.

힐베르트 공간 위의 모든 [[대칭 작용소]]는 닫힐 수 있는 작용소이다. 힐베르트 공간 위의 모든 [[자기 수반 작용소]](<math>A = A^*</math>)는 닫힌 작용소이다.

즉, [[힐베르트 공간]] 위에서 다음 포함 관계가 성립한다.
:{| style="text-align: center"
| [[대칭 작용소]] || ⊂ || 닫힐 수 있는 작용소 
|-
| ∪ || || ∪
|-
| [[자기 수반 작용소]] || ⊂ || 닫힌 작용소
|-
|  || || ∪
|-
| || || [[유계 작용소]]
|}

=== 닫힌 그래프 정리 ===
두 <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>E</math>, <math>F</math> 사이의, <math>E</math> 전체에 정의된 <math>\mathbb K</math>-[[선형 변환]] <math>A\colon E\to F</math>을 생각하자. 이 경우, <math>A</math>가 닫힌 작용소인 것은 <math>A</math>가 [[유계 작용소]]인 것과 [[동치]]이다. 이를 '''닫힌 그래프 정리'''({{llang|en|closed graph theorem}})라고 한다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{eom|title=Closed operator}}
* {{매스월드|id=ClosedOperator|이름=Christopher|성=Stover}}
* {{매스월드|id=CloseableOperator|이름=Christopher|성=Stover}}

[[분류:함수해석학]]