단체 준군 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[호모토피 이론]]에서 '''단체 준군'''(單體準群, {{llang|en|simplicial groupoid, simplicially enriched groupoid}})은  [[단체 집합]]의 [[모노이드 범주]]에 대하여 [[풍성한 범주]]를 이루는 [[준군]]이다.<ref name="GJ">{{서적 인용|제목=Simplicial homotopy theory|이름1=Paul G.|성1=Goerss|이름2=John F.|성2=Jardine|출판사=Birkhäuser|총서=Progress in Mathematics|doi=10.1007/978-3-0348-8707-6|isbn=978-3-0348-9737-2|날짜=1999|issn=0743-1643|언어=en}}</ref>{{rp|§Ⅴ}}<ref name="Ehlers">{{서적 인용 | url=http://maths.bangor.ac.uk/research/ftp/theses/ehlers-msc.pdf | 날짜=1991 | 제목=Simplicial groupoids as models for homotopy type | 이름=Philip John | 성=Ehlers | 출판사=University College of North Wales | 기타=석사 학위 논문 | 언어=en | 확인날짜=2018-05-24 | 보존url=https://web.archive.org/web/20150326223619/http://www.maths.bangor.ac.uk/research/ftp/theses/ehlers-msc.pdf | 보존날짜=2015-03-26 | url-status=dead }}</ref>

== 정의 ==
'''단체 준군'''은 [[단체 집합]]의 [[모노이드 범주]]에 대하여 [[풍성한 범주]]를 이루는 [[준군]]이다.<ref name="GJ"/>{{rp|313, §Ⅴ.7}}<ref name="Ehlers"/>{{rp|10, §1}} 즉, 다음과 같은 데이터로 구성된다.
* 집합 <math>\operatorname{Ob}(G)</math>. 그 원소를 '''대상'''이라고 한다.
* 임의의 두 <math>x, y\in \operatorname{Ob}(G)</math>에 대하여, [[단체 집합]] <math>\hom_G(x,y)</math>. 이를 <math>x\to y</math> 사상들의 [[단체 집합]]이라고 한다.
이는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.
* 각 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, <math>G_n = (\operatorname{Ob}(G),(\hom_G(x,y))_n)</math>는 [[준군]]을 이룬다.
* [[단체 범주]] <math>\triangle</math>의 사상 (즉, [[증가 함수]]) <math>f\colon \{0,1,\dotsc, n\} \to \{0,1,\dotsc,m\}</math>에 대하여, <math>f^* \colon G_m \to G_n</math>는 준군 준동형(즉, [[함자 (수학)|함자]])을 이룬다. (이들은 대상 집합 <math>\operatorname{Ob}(G_n) = \operatorname{Ob}(G)</math>에 대하여 [[항등 함수]]이다.)
단체 준군의 '''사상'''은 준군 준동형(즉, [[함자 (수학)|함자]])을 이루는 [[단체 집합]] 사상(즉, [[단체 범주]] 위의 [[준층]]의 [[자연 변환]])이다. 단체 준군의 [[범주 (수학)|범주]]를 <math>\operatorname{sGpd}</math>로 표기하자.

== 성질 ==
단체 준군의 정의에 따라, [[준군]]의 범주 및 [[단체 집합]]의 범주로 가는 망각 함자
:<math>\operatorname{sGpd} \to \operatorname{Gpd}</math>
:<math>\operatorname{sGpd} \to \operatorname{sSet}</math>
가 존재한다.

모든 단체 준군으ᇿ 준군 범주의 [[단체 대상]]을 이루지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 준군 범주의 단체 대상 가운데 그 대상 [[단체 집합]]이 [[이산 공간]]인 경우 이는 단체 준군을 이룬다. 특히, [[군 (수학)|군]]은 하나의 대상만을 갖는 [[준군]]이므로, [[군 (수학)|군]]의 범주의 [[단체 대상]]은 항상 단체 준군이다. 군의 범주의 [[단체 대상]]을 '''단체군'''(單體群, {{llang|en|simplicial group}})이라고 한다.

모든 단체군은 자동적으로 [[칸 복합체]]이며,<ref>{{저널 인용|이름=John Coleman|성=Moore|저자링크=존 콜먼 무어|날짜=1955-04-18|제목=Homotopie des complexes monoïdaux Ⅰ|저널=Séminaire Henri Cartan|권=7|호=2|쪽=1–8|url= http://www.numdam.org/item?id=SHC_1954-1955__7_2_A8_0|언어=fr}}</ref>{{rp|18‒04, §3, Théorème 3}} 따라서 그 [[호모토피 군]]을 정의할 수 있다.

=== 고리 준군 ===
[[단체 집합]] <math>X</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 각 [[자연수]] <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여, [[화살집 (수학)|화살집]]
:<math>X_{n+1} \underset t{\overset s\rightrightarrows} X_0</math>
:<math>s = (\partial_1)^{n+1} \colon X_{n+1} \to X_0</math>
:<math>t = \partial_0 \circ (\partial_2)^n \colon X_{n+1} \to X_0</math>
을 생각하자. (<math>s</math>는 화살의 머리, <math>t</math>는 화살의 꼬리를 뜻한다.) 이 화살집으로 생성되는 자유 [[준군]]을 <math>(\mathrm GX)_n</math>이라고 표기하자.

이제, 이 위에 다음과 같은 [[단체 대상]] 구조를 줄 수 있다. 자유 준군의 사상의 생성원 (즉, 화살집의 화살) <math>e\in X_{n+1}</math>에 대하여,
:<math>s_i^{\mathrm GX}(e) = s_{i+1}^X(e) \qquad\forall e\in X_{n+1}</math>
:<math>\partial_i^{\mathrm GX}(e) = 
\begin{cases}
\partial_{i+1}^X(e) & 1\le i\le n \\
\partial_0^{\mathrm GX}(e) = (\partial_0^X(e))^{-1} \partial_1^X(e) & i = 0
\end{cases}\qquad\forall e\in X_{n+1}
</math>
그렇다면, <math>\mathrm GX</math>는 준군 범주의 [[단체 대상]]을 이루며, 면 <math>\partial_i^{\mathrm GX}</math> 및 퇴화 단체 <math>s_i^{\mathrm GX}</math> 사상들이 준군 대상에 대하여 상수 함수이므로, 이는 단체 준군을 이룬다.

이는 [[단체 집합]]의 범주에서 단체 준군의 범주로 가는 [[함자 (수학)|함자]]
:<math>\operatorname{sSet} \to \operatorname{sGpd}</math>
를 이룬다. 이를 '''드와이어-칸 고리 준군 함자'''(Dwyer-Kan고리準群函子, {{llang|en|Dwyer–Kan loop groupoid functor}})라고 한다. 대략, 단체 집합 <math>X</math>의 고리 준군 <math>\mathrm GX</math>는 다음과 같다.
* <math>\mathrm GX</math>의 대상의 집합 <math>(\mathrm GX)_0</math>은 <math>X</math>의 꼭짓점 집합 <math>X_0</math>과 같다.
* <math>\mathrm GX</math>의 두 대상 사이의 사상들의 [[단체 집합]]은 <math>X</math>의 1차원 이상 단체들로 구성된 “경로”들의 집합이다. 여기서 <math>X</math>의 1차원 이상 단체에서, 0번째 꼭짓점을 (경로를 구성하는) 변의 “머리”로, 1번째 꼭짓점을 변의 “꼬리”로 여긴다.
이 개념은 [[고리 공간]]의 개념의, [[단체 집합]]에 대한 공식화이다.

드와이어-칸 고리 준군 함자는 다음과 같이 제한될 수 있다.
:<math>G \colon \operatorname{sSet_{red}} \to \operatorname{simp}(\operatorname{Grp})</math>
여기서
* <math>\operatorname{sSet_{red}}</math>는 [[단체 집합]] 가운데 하나의 꼭짓점만을 갖는 것('''축소 단체 집합''' 縮小單體集合 {{llang|en|reduced simplicial set}})들의 범주이다.
* <math>\operatorname{simp}(\operatorname{Grp})</math>은 단체군의 범주이다.

=== 단체 분류 공간 ===
드와이어-칸 고리 준군 함자는 또한 [[오른쪽 수반 함자]]
:<math>\mathrm B \colon \operatorname{sGpd} \to\operatorname{sSet}</math>
를 가지며, 이를 '''단체 [[분류 공간]] 함자'''(單體分類空間函子, {{llang|en|simplicial classifying space functor}})라고 한다. 즉, 수반 함자의 쌍
:<math>\mathrm G \colon \operatorname{sSet} \leftrightarrows \operatorname{sGpd} \colon \mathrm B</math>
이 존재한다.

단체군의 단체 분류 공간은 축소 단체 집합이다. 이를 통해, 수반 함자의 쌍
:<math>\mathrm G \colon \operatorname{sSet_{red}} \leftrightarrows \operatorname{Grp}^{\triangle^{\operatorname{op}}} \colon \mathrm B</math>
이 존재한다.

구체적으로, 단체 준군 <math>(G_n)_{n\in\mathbb N}</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
* <math>(\mathrm BG)_0 = \operatorname{Ob}(G)</math>
* <math>(\mathrm BG)_1 = \operatorname{Mor}(G_0) </math>
* <math>(\mathrm BG)_n = \{(h_{n-1},h_{n-2},\dotsc,h_1,h_0) \colon h_i \in G_i,\;\mathsf s_{G_n}(h_i) = \mathsf t_{G_n}(h_{i-1}) \;\forall 0<i<n \} \subseteq \operatorname{Mor}(G_{n-1}) \times \dotsb\times \operatorname{Mor}(G_0)</math>
** 여기서 <math>\mathsf s_{G_n},\mathsf t_{G_n} \colon \operatorname{Mor}(G_n) \to \operatorname{Ob}(G)</math>은 [[준군]] <math>G_n</math>의 사상의 머리 및 꼬리 함수이다.
* 면 사상은 다음과 같다.
** <math>\partial_0^n(h_{n-1},\dotsc,h_0) = (h_{n-2},\dotsc,h_0)</math>
** <math>\partial_i^n(h_{n-1},\dotsc,h_0) = (\partial_{i-1}^{G_{n-1}}h_{n-1},\partial_{i-2}^{G_{n-2}}h_{n-2},\dotsc,\partial_1^{G_{n-i+1}}h_{n-i+1},(\partial_0^{G_{n-i}}h_{n-i})h_{n-i-1},h_{n-i-2},\dotsc,h_0)\qquad(0<i<n)</math>
** <math>\partial_n^n(h_{n-1},\dotsc,h_0) = (\partial_{n-1}^{G_{n-1}}h_{n-1},\dotsc,\partial_1^{G_1}h_1)</math>
* 퇴화 사상은 다음과 같다.
** <math>s_0^n(h_{n-1},\dotsc,h_0) = (\operatorname{id}_{\mathsf s(h_{n-1})},h_{n-1},\dotsc,h_0)</math>
** <math>s_i^n(h_{n-1},\dotsc,h_0) = (s_{i-1}h_{n-1},\dotsc,s_0h_{n-i},\operatorname{id}_{\mathsf t(h_{n-i})},h_{n-i-1},\dotsc,h_0)\qquad(0<i\le n)</math>

=== 모형 범주 구조 ===
단체 준군의 범주는 [[모형 범주]]의 구조를 가지며, 이는 [[단체 범주]]의 (표준적) [[모형 범주]] 구조와 [[퀼런 동치]]이다.<ref name="GJ"/>{{rp|323, Theorem 7.8}} 즉, 그 [[호모토피 범주]]는 [[단체 범주]]의 [[호모토피 범주]]와 [[범주의 동치|동치]]이다.<ref name="GJ"/>{{rp|325, Corollary 7.11}}

이 [[모형 범주]] 구조에서, 사상 <math>f\colon G\to H</math>가 올뭉치일 [[필요 충분 조건]]은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다.
* (올림의 존재) 임의의 <math>G</math>의 대상 <math>x\in \operatorname{Ob}(G)</math> 및 <math>H</math>의 사상 <math>\alpha \in\hom_H(f(x), y)</math>에 대하여, <math>f(\bar\alpha)=\alpha</math>이며 <math>f(\bar y)=y</math>인 <math>G</math>의 사상 <math>\bar\alpha\in\hom_G (x,\bar y)</math>이 존재한다.
* 각 대상 <math>x\in\operatorname{Ob}(G)</math>에 대하여, [[단체 집합]] 사상 <math>\hom_G(x,x) \to \hom_H(f(x),f(x))</math>는 [[칸 올뭉치]]이다.

이 [[모형 범주]] 구조에서, 사상 <math>f\colon G\to H</math>가 [[약한 동치]]일 [[필요 충분 조건]]은 다음 두 조건이 동시에 성립하는 것이다.
* <math>f</math>는 [[연결 성분]] 집합 <math>\pi_0(G)</math>, <math>\pi_0(H)</math> 사이의 [[전단사 함수]]를 정의한다.
* 임의의 <math>x\in \operatorname{Ob}(G)</math>에 대하여, <math>(f \restriction\hom_G(x,x))\colon \hom_G(x,x) \to \hom_H(f(x),f(x))</math>는 [[단체 집합]]의 [[약한 동치]]를 이룬다.

이에 따라, 단체 준군을 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]의 [[호모토피 유형]]의 모형으로 간주할 수 있다. 이러한 관점에서, 단체군은 [[연결 공간]]에 해당한다.

=== 무어 복합체 ===
단체군 <math>G</math>가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 이로부터 '''무어 복합체'''라는 군들의 열을 정의할 수 있다.
:<math>(\mathrm NG)_0 \xleftarrow{\partial_1} (\mathrm NG)_1 \xleftarrow{\partial_2} (\mathrm NG)_2 \xleftarrow{\partial_3} \dotsb </math>
이 사이의 사상 <math>\partial_i \colon (\mathrm NG)_i \to (\mathrm NG)_{i-1}</math>은 [[군 준동형]]이며, 또한 <math>\partial_i \circ \partial_{i+1} = 1</math> ([[상수 함수]])이다. 즉, 이는 군의 “[[사슬 복합체]]”를 이룬다. 또한, 각 경계 사상의 [[상 (수학)|상]]은 [[정규 부분군]]을 이룬다. (즉, 이 “[[사슬 복합체]]”의 “[[호몰로지]]”를 취할 수 있다.) 이러한 구조 <math>(\mathrm NG)_\bullet</math>를 단체군 <math>G</math>의 '''무어 복합체'''(Moore複合體, {{llang|en|Moore complex}})라고 한다.

구체적으로,
:<math>(\mathrm NG)_n = \bigcap_{i=1}^n \ker\partial_i^{G_n} \le G_n</math>
:<math>\partial_n = \left(\partial_i^{G_n} \restriction (\mathrm NG)_n\right) \colon (\mathrm NG)_n \to (\mathrm NG)_{n-1}</math>
이다. 여기서 <math>\partial_i^{G_n}\colon G_n \to G_{n-1}</math>은 [[단체 대상]]의 면 사상이다. (※ <math>\partial_0^{G_n}</math>은 교집합에서 사용되지 않는다.) 다시 말해,
* 무어 복합체의 항 <math>(\mathrm NG)_n</math>은 <math>G</math>의 <math>n</math>차원 단체 가운데, 1번째〜<math>n</math>번째 면들이 모두 자명한 것들로 구성된 부분군이다. 그러나 0번째 면은 자명하지 않을 수 있다. (특히, <math>(\mathrm NG)_0 = G_0</math>이다.)
* 무어 복합체의 경계 준동형은 0번째 면을 취하는 연산이다.
이러한 무어 복합체는 '''초교차 복합체'''(超交叉複合體, {{llang|en|hypercrossed complex}})라는 대수 구조를 이루며, 무어 복합체 구성을 통해 단체군의 범주는 초교차 복합체의 범주와 [[범주의 동치|동치]]이다.<ref>{{저널 인용|이름=Pilar|성=Carrasco |이름2= A. M.|성2= Cegarra|제목= Group-theoretic algebraic models for homotopy types|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-pure-and-applied-algebra_1991-10-31_75_3/page/n2|저널=Journal of Pure and Applied Algebra|권=75|날짜=1991|쪽=195–235|doi=10.1016/0022-4049(91)90133-M|언어=en}}</ref>

특히, 무어 복합체에서 <math>(\mathrm NG)_2 = 1</math>이라고 하고, 처음 두 항
:<math>(\mathrm NG)_0 \xleftarrow\partial (\mathrm NG)_1</math>
을 생각하자. <math>(\mathrm NG)_0=G_0</math>은 <math>(\mathrm NG)_1 </math> 위에 다음과 같이 작용한다.
:<math>g \cdot h = s_0^{G_0}(g) h (s_0^{G_0}(g))^{-1} \in  (\mathrm NG)_1 \qquad (g\in G_0,\;h \in (\mathrm NG)_1)</math>
그렇다면, 이 데이터는 [[교차 가군]]을 정의한다.

== 역사 ==
축소 단체 집합의 고리 군은 [[다니얼 칸]]이 1958년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Daniel M.|성=Kan|저자링크=다니얼 칸|제목= On homotopy theory and c.s.s. groups|저널= Annals of Mathematics |권=68 |호=1|날짜=1958-07|쪽= 38–53|doi=10.2307/1970042|jstor=1970042|언어=en}}</ref> 이 구성을 윌리엄 제러드 드와이어({{llang|en|William Gerard Dwyer}}, 1947〜)와 [[다니얼 칸]]이 1984년에 임의의 단체 집합의 고리 준군으로 일반화하였다.<ref>{{저널 인용|이름=William G.|성= Dwyer |이름2= Daniel M. |성2=Kan|저자링크2=다니얼 칸|제목=Homotopy theory and simplicial groupoids|저널=Indagationes Mathematicae Proceedings |권=87|호=4|날짜=1984|쪽=379–385|doi=10.1016/1385-7258(84)90038-6|issn=1385-7258|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[준군]]
== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=simplicial group|title=Simplicial group}}
* {{nlab|id=simplicial groupoid|title=Simplicial groupoid}}
* {{nlab|id=Dwyer-Kan loop groupoid}}
* {{nlab|id=simplicial loop space|title=Simplicial loop space}}
* {{nlab|id=model structure on simplicial groupoids|title=Model structure on simplicial groupoids}}
* {{nlab|id=model structure on simplicial groups|title=Model structure on simplicial groups}}
* {{nlab|id=infinity-groupoid|title=∞-groupoid}}
* {{nlab|id=Moore complex}}
* {{nlab|id=hypercrossed complex|title=Hypercrossed complex}}
* {{웹 인용|url=https://amathew.wordpress.com/2011/10/22/the-classifying-space-of-a-simplicial-group/ | 제목=The classifying space of a simplicial group | 웹사이트=Climbing Mount Bourbaki | 날짜=2011-10-22|이름=Akhil|성=Mathew | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://ncatlab.org/timporter/files/menagerie11.pdf | 제목=The crossed menagerie: an introduction to crossed gadgetry and cohomology in algebra and topology | 이름=Tim | 성=Porter | 날짜=2012-03-06 | 언어=en}}

[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:범주론]]
[[분류:군론]]