단조 수렴 정리 (미적분학) 문서 원본 보기

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[[실해석학]]에서, '''단조 수렴 정리'''(單調收斂定理, {{llang|en|monotone convergence theorem}})는 [[실수]] 항의 [[단조 수열|단조]] [[유계 수열]]이 항상 [[수렴]]한다는 정리이다.

== 정의 ==
[[실수]] 수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>이 주어졌다고 하자. '''단조 수렴 정리'''에 따르면, 만약 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>가 [[증가 수열]]이라면 (<math>a_0\le a_1\le a_2\le\cdots</math>), 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\sup_{n\ge 0}a_n\in(-\infty,\infty]</math>
마찬가지로, 만약 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>가 [[감소 수열]]이라면 (<math>a_0\ge a_1\ge a_2\ge\cdots</math>), 다음이 성립한다.
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\inf_{n\ge 0}a_n\in[-\infty,\infty)</math>
여기서 <math>\sup,\inf</math>는 각각 [[상한과 하한]]을 나타낸다.

이에 따라, 임의의 [[실수]] [[단조 수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>은 (<math>\mathbb R</math>에서) [[수렴]]한다.
* <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>는 [[유계 수열]]이다.

{{증명}}
임의의 [[실수]] [[증가 수열]] <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>에 대하여, 그 [[상한]]을
:<math>L=\sup_{n\ge 0}a_n\in(-\infty,\infty]</math>
이라고 하자.

만약 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>이 [[유계 수열]]이라면, <math>L<\infty</math>이다. <math>L</math>의 정의에 따라, 임의의 <math>\epsilon>0</math>에 대하여,
:<math>a_N>L-\epsilon</math>
인 <math>N\ge 0</math>이 존재한다. 따라서, 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여,
:<math>L-\epsilon<a_N\le a_n\le L<L+\epsilon</math>
이다. 즉,
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=L</math>
이 성립한다.

만약 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>이 [[무계 수열]]이라면, <math>L=\infty</math>이다. 임의의 <math>M>0</math>에 대하여,
:<math>a_N>M</math>
인 <math>N\ge 0</math>이 존재하며, 임의의 <math>n\ge N</math>에 대하여
:<math>a_n\ge a_N>M</math>
이다. 즉,
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\infty</math>
이 성립한다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
[[확장된 실수]]
:<math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}</math>
를 단조 수렴 정리를 사용하여 구해보자. 우선 이는 다음과 같은 실수 수열 <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math>의 극한이다.
:<math>a_1=\sqrt 2</math>
:<math>a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}\qquad(n\ge 1)</math>
[[수학적 귀납법]]을 통해 <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>이 [[증가 수열]]임을 다음과 같이 보일 수 있다.
:<math>a_2=\sqrt{2+\sqrt 2}>\sqrt 2=a_1</math>
:<math>a_{n+1}>a_n\implies a_{n+2}=\sqrt{2+a_{n+1}}>\sqrt{2+a_n}=a_{n+1}\qquad(n\ge 1)</math>
또한 <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>은 다음에 따라 <math>\sqrt 2+1</math>을 [[상계 (수학)|상계]]로 가지므로, [[유계 수열]]이다.
:<math>a_1=\sqrt 2<\sqrt 2+1</math>
:<math>a_n<\sqrt 2+1\implies a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+\sqrt 2+1}<\sqrt{2+2\sqrt 2+1}=\sqrt 2+1\qquad(n\ge 1)</math>
단조 수렴 정리에 따라, <math>(a_n)_{n\in\mathbb N}</math>은 [[수렴]]한다. 이제
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=L</math>
이라고 하고 등식
:<math>a_{n+1}^2=2+a_n\qquad(n\ge 1)</math>
의 양변에 극한을 취하면
:<math>L^2=2+L</math>
을 얻으며, 이를 풀면 <math>L=-1</math>이거나 <math>L=2</math>임을 얻는다. 또한 <math>L\ge a_1>0</math>이므로,
:<math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}=L=2</math>
이다.

== 일반화 ==
[[실수]] 수열 <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>이 주어졌고, 다음 조건들을 만족시키는 양의 정수 <math>k>0</math> 및 [[연속 함수]] <math>f\colon\mathbb R^k\to\mathbb R</math>이 존재한다고 하자.
* 임의의 <math>1\le i\le k</math> 및 <math>x_1,\dots,x_i,x_i',\dots,x_k,\in\mathbb R</math>에 대하여, 만약 <math>x_i<x_i'</math>이라면 <math>f(x_1,\dots,x_i,\dots,x_k)<f(x_1,\dots,x_i',\dots,x_k)</math>이다.
* 임의의 <math>x\in\mathbb R</math>에 대하여, <math>f(x,\dots,x)=x</math>
* 임의의 <math>n\ge k</math>에 대하여, <math>f(a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_{n-k})\le a_n</math>
그렇다면,
:<math>\lim_{n\to\infty}a_n=\sup_{n\ge 0}\min\{a_{n-1},a_{n-2},\dots,a_{n-k}\}\in(-\infty,\infty]</math>
이다.<ref name="Bibby">{{저널 인용
|성=Bibby
|이름=John
|제목=Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences
|언어=en
|저널=Glasgow Mathematical Journal
|권=15
|호=1
|쪽=63-65
|날짜=1974-03
|issn=0017-0895
|doi=10.1017/S0017089500002135
}}</ref> 또한, <math>(a_n)_{n=0}^\infty</math>이 수렴할 필요 충분 조건은 [[유계 수열]]이다.

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{proofwiki|id=Monotone Convergence Theorem (Real Analysis)|제목=Monotone convergence theorem (real analysis)}}

[[분류:미적분학 정리]]
[[분류:실해석학 정리]]
[[분류:수열]]