단위 계단 함수 문서 원본 보기

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[[파일:Dirac distribution CDF.svg|섬네일|단위 계단 함수]]
'''단위 계단 함수'''(unit step function) 또는 '''헤비사이드 계단 함수'''(Heaviside step function)은 0보다 작은 [[실수]]에 대해서 0, 0보다 큰 실수에 대해서 1, 0에 대해서 1/2의 값을 갖는 [[함수]]이다. 이 함수는 [[신호처리]] 분야에서 자주 사용된다. 그리고 부호 함수에다 1을 더한 뒤 2를 나눈 함수이다.

단위 계단 함수는 [[디랙 델타 함수]]의 [[부정적분]]이다. 즉,
:<math>H(x) = \int_{-\infty}^x { \delta(t)} \mathrm{d}t</math>
이 성립한다.

== 이산 형태 ==
단위 계단을 이산 변수 ''n''에 대한 함수로 나타내면

:<math>H[n]=\begin{cases} 0, & n < 0, \\ 1, & n \ge 0, \end{cases} </math>

과 같이 되며 이 때 ''n''은 [[정수]]이다. 주어진 문제가 이산적이지 않은 상황에서는 ''H''[0]의 정의가 중요하다.

이산-시간 단위 충격량은 이산-시간 단계에서 첫 번째 차이값을 의미하는

:<math> \delta\left[ n \right] = H[n] - H[n-1]</math>

으로 나타낼 수 있다. 이 함수는 [[크로네커 델타]]의 합

:<math> H[n] = \sum_{k=-\infty}^{n} \delta[k] \,</math>

으로 나타낼 수 있으며 여기서

:<math> \delta[k] = \delta_{k,0} \,</math>

이다..

== 적분 표현 ==
때때로 [[복소해석학|복소 적분]]의 형태로도 나타낼 수 있다:
:<math>H(x)=\lim_{ \epsilon \to 0^+} {i\over 2\pi}\int_{-\infty}^\infty {\mathrm{e}^{-i x \tau} \over \tau+i\epsilon}  \mathrm{d}\tau =\lim_{ \epsilon \to 0^+} {1\over 2\pi i}\int_{-\infty}^\infty {\mathrm{e}^{i x \tau} \over \tau-i\epsilon} \mathrm{d}\tau.</math>
== 같이 보기 ==
* [[디랙 델타 함수]]
* [[지시 함수]]
* [[아이버슨 괄호]]
* [[라플라스 변환]]
* [[음수]]
* [[구형함수]]
* [[부호함수]]

{{토막글|수학}}

[[분류:초등 특수 함수]]
[[분류:디지털 신호 처리]]