단위행렬 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[선형대수학]]에서 '''단위 행렬'''({{llang|en|unit matrix}}) 또는 '''항등 행렬'''({{llang|en|identity matrix}})은 [[주대각선]]의 원소가 모두 1이며 나머지 원소는 모두 0인 [[정사각 행렬]]이다.<ref>{{서적 인용|저자1=Abdelwahab Kharab|저자2=Ronald B. Guenther|제목=이공학도를 위한 수치해석|날짜=2013|출판사=학산미디어|isbn=978-89-966211-8-8}}</ref>{{rp|100}}

== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 단위 행렬 <math>1_{n\times n}\in\operatorname{Mat}(n;K)</math>는 다음과 같이 정의된다.
:<math>(1_{n\times n})_{ij}=\delta_{ij}=
\begin{cases}
1&i=j\\
0&i\ne j
\end{cases}
\qquad\forall i,j\in\{1,\dots,n\}</math>
여기서 <math>\delta_{ij}</math>는 [[크로네커 델타]]이다. 이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.
:<math>1_{n\times n}=\operatorname{diag}(\underbrace{1,1,1,\dots,1}_n)=
\begin{pmatrix}
1&0&0&\cdots&0\\
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1
\end{pmatrix}_{n\times n}
</math>
작은 크기의 단위 행렬들은 다음과 같다.
:<math>1_{1\times 1}=
\begin{pmatrix}
1
\end{pmatrix}
</math>
:<math>1_{2\times 2}=
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&1
\end{pmatrix}
</math>
:<math>1_{3\times 3}=
\begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1
\end{pmatrix}
</math>

== 성질 ==
임의의 체 <math>K</math> 위의 <math>m\times n</math> 행렬 <math>A\in\operatorname{Mat}(m,n;K)</math>에 대하여, 다음과 같은 항등식이 성립한다.
:<math>1_{m\times m}A=A1_{n\times n}=A</math>
특히, 체 <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 단위 행렬은 체 <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 정사각 행렬의 [[행렬 곱셈|곱셈]] [[모노이드]] <math>\operatorname{Mat}(n;K)</math>의 [[항등원]]이다.

체 <math>K</math> 위의 <math>n\times n</math> 단위 행렬 <math>1_{n\times n}</math>의 [[고윳값]]은 1이며, 그 [[대수적 중복도]]와 [[기하적 중복도]]는 모두 <math>n</math>이다. 즉, <math>K</math> 위의 <math>n</math>차원 [[벡터 공간]]에서 자기 자신으로 가는 [[선형 변환]]이 <math>1_{n\times n}</math>을 행렬로 한다면, 이는 [[기저 (선형대수학)|기저]]와 상관 없이 [[항등 함수]]이다.

모든 실수 [[양의 정부호]] [[이차 형식]]은 단위 행렬을 행렬로 하는 이차 형식(즉, 제곱 합 이차 형식)과 동치이다.

== 같이 보기 ==
* [[이진 행렬]]
* [[스칼라 행렬]]
* [[영행렬]]
* [[역행렬]]

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=IdentityMatrix|title=Identity matrix}}

[[분류:선형대수학]]
[[분류:성긴 행렬]]
[[분류:1]]