단순 함수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[측도론]]에서 '''단순 함수'''(單純函數, {{llang|en|simple function}})는 유한 가지 값만을 가지는 [[가측 함수]]이다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* <math>\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}</math>
* <math>\mathbb K</math>-[[바나흐 공간]] <math>V</math>
* [[가측 공간]] <math>(X,\mathcal S)</math>
그렇다면, <math>X</math>에서 <math>V</math>로 가는 '''단순 함수'''는 다음과 같은 꼴의 [[함수]]이다.
:<math>f\colon X\to V</math>
:<math>f=\sum_{i=1}^nv_i\chi_{S_i}</math>
:<math>v_i\in V</math>
:<math>S_i\in\mathcal S</math>
:<math>n\in\mathbb N</math>
여기서 <math>\chi</math>는 [[지시 함수]]이다.

== 성질 ==
모든 단순 함수는 [[가측 함수]]이다. 따라서 단순 함수의 열의 점별 극한은 (만약 존재한다면) [[가측 함수]]이다. [[페티스 가측성 정리]]에 따라, 만약 공역 <math>V</math>가 [[분해 가능]] [[바나흐 공간]]일 경우, 가측 함수는 단순 함수의 열의 점별 극한과 [[동치]]이다. 그러나 일반적인 바나흐 공간 값 함수의 경우 단순 함수의 열의 점별 극한이 아닌 [[가측 함수]]가 존재할 수 있다.

== 예 ==
모든 [[지시 함수]] 또는 [[계단 함수]]는 단순 함수이다.

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성1=Hytönen
|이름1=Tuomas
|성2=van Neerven
|이름2=Jan
|성3=Veraar
|이름3=Mark
|성4=Weis
|이름4=Lutz
|제목=Analysis in Banach Spaces. Volume I: Martingales and Littlewood-Paley Theory
|언어=en
|총서=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics
|권=63
|출판사=Springer
|위치=Cham
|날짜=2016
|isbn=978-3-319-48519-5
|issn=0071-1136
|doi=10.1007/978-3-319-48520-1
|lccn=2016955329
}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=SimpleFunction|제목=Simple function}}

[[분류:실해석학]]
[[분류:측도론]]
[[분류:함수의 종류]]