단순 리 초대수 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[리 초대수]] 이론에서, '''단순 리 초대수'''(單純Lie超代數, {{llang|en|simple Lie superalgebra}})는 자명하지 않은 아이디얼을 갖지 않는 [[리 초대수]]이다.

== 정의 ==
[[가환환]] <math>K</math> 위의 [[리 초대수]] <math>\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1</math>의 '''아이디얼'''은 <math>\mathfrak g</math>의 부분 리 초대수 <Math>\mathfrak i\subseteq\mathfrak g</math> 가운데
:<math>[\mathfrak g,\mathfrak i\} \subseteq\mathfrak i</math>
인 것이다.

[[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] 위의 리 초대수 <math>\mathfrak g</math>가 정확히 두 개의 [[리 초대수 아이디얼]]을 가질 경우, 이를 '''단순 리 초대수'''라고 한다. (이 경우, 아이디얼은 <math>\{0\}</math>과 <math>\mathfrak g</math> 전체이다. <math>\mathfrak g=\{0\}</math>인 경우는 아이디얼이 1개이므로 해당되지 않으며, 이는 1을 [[소수 (수론)|소수]]로 간주하지 않는 것과 마찬가지다.)

[[표수 0]]의 [[체 (수학)|체]] 위의 단순 리 초대수 <math>\mathfrak g</math>가 다음 조건을 만족시킬 경우, '''고전 리 초대수'''(古典Lie超代數, {{llang|en|classical Lie superalgebra}})라고 한다.
* <math>\mathfrak g_0</math>의, <math>\mathfrak g_1</math> 위의  [[리 대수의 표현]]이 완전 분해 가능 표현이다.

고전 리 초대수가 아닌 단순 리 초대수를 '''카르탕형 대수'''(Cartan型代數, {{llang|en|Cartan-type algebra}}) 또는 '''초고전적 대수'''(超古典的代數, {{llang|en|hyperclassical algebra}})라고 하며, <math>\mathfrak w(n)</math>, <math>\mathfrak s(n)</math>, <math>\tilde{\mathfrak s}(n)</math>, <math>\mathfrak h(n)</math>이 있다.

== 분류 ==
=== 복소수 단순 리 초대수 ===
[[표수 0]]의 [[대수적으로 닫힌 체]] 위의 단순 리 초대수들은 모두 분류되었으며, 그 목록은 다음과 같다.<ref name="Kac77a"/>{{rp|45, Theorem 2}}
{| class="wikitable"
|-
! 이름 !! 기호 !! 조건 !! 보손 부분 대수 !! 보손 차원 !! 페르미온 표현 !! 페르미온 차원
|-
| 특수 선형 || <math>\mathfrak{sl}(m|n)</math> || <math>1\le m<n</math> || <math>\mathfrak{sl}(m)\oplus\mathfrak{sl}(n)\oplus\mathfrak{u}(1)</math> || <math>m^2+n^2-1</math> || <math>(\mathbf n,\bar{\mathbf m})\oplus(\bar{\mathbf n},\mathbf m)
</math> ||  <math>2mn</math>
|-
| 사영 특수 선형 || <math>\mathfrak{psl}(m|m)</math> || <math>m\ge2</math> || <math>\mathfrak{sl}(m)\oplus\mathfrak{sl}(m)</math> || <math>2n^2-2</math> ||  <math>(\mathbf m,\bar{\mathbf m})\oplus(\bar{\mathbf m},\mathbf m)</math> ||<math>2m^2</math>
|-
| 직교-심플렉틱 || <math>\mathfrak{osp}(m|2n)</math> || <math>m\ge1</math>, <math>n\ge1</math> || <math>\mathfrak o(m)\oplus\mathfrak{sp}(2n)</math> || <math>m(m-1)/2+n(2n+1)</math>|| <math>(\mathbf m,\mathbf{2n})</math> || <math>2mn</math>
|-
| 이상한 || <math>\mathfrak{q}(n)</math> || <math>n\ge3</math> || <math>\mathfrak{sl}(n)\oplus\mathfrak u(1)</math> || <math>n^2</math> || <math>\mathbf{(n^2-1)}</math> || <math>n^2-1</math>
|-
| 페리플렉틱 || <math>\mathfrak p(n)</math> || <math>n\ge3</math> || <math>\mathfrak{sl}(n)\oplus\mathfrak u(1)</math> || <math>n^2</math> || <math>\mathbf n^{\text{sym}\otimes2}\oplus\bar{\mathbf n}^{\wedge2}</math> || <math>n^2</math>
|-
| 예외 || <math>\mathfrak{osp}(4|2;\alpha)</math> || <math>\alpha\ne0,-1,+1</math> || <math>\mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{sl}(2)</math> || 9 || <math>(\mathbf2,\mathbf2,\mathbf2)</math> || 8
|-
| 예외|| <math>\mathfrak f(3|1)</math> || || <math>\mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak o(7)</math> || 24 || <math>(\mathbf2,\mathbf8)</math> || 16
|-
| 예외 || <math>\mathfrak g(3)</math> || || <math>\mathfrak{sl}(2)\oplus\mathfrak{g}_2</math> || 17 ||<math>(\mathbf 2,\mathbf 7)</math> || 14
|-
| 카르탕형 || <math>\mathfrak w(n)</math> || <math>n\ge2</math> || (복잡함) || <math>n2^{n-1}</math> || (복잡함) || <math>n2^{n-1}</math>
|-
| 카르탕형 특수 || <math>\mathfrak s(n)</math> || <math>n\ge3</math> || (복집함) || <math>(n-1)2^{n-1} + (n-2\lfloor n/2\rfloor)</math> || (복잡함) || <math>(n-1)2^{n-1}+1-(n-2\lfloor n/2\rfloor)</math>
|-
| 카르탕형 특수 || <math>\tilde{\mathfrak s}(n)</math> || <math>2\mid n\ge4</math> || (복잡함) || <math>(n-1)2^{n-1}</math> || (복잡함) || <math>(n-1)2^{n-1}+1</math>
|-
| 해밀턴형 || <math>\mathfrak h(n)</math> || <math>n\ge4</math> || (복잡함) || <math>2^{n-1} -2 + (n-2\lfloor n/2\rfloor)</math> || (복잡함) ||  <math>2^{n-1} - (n-2\lfloor n/2\rfloor)</math>
|}
위 표에서 <math>\mathbf r^{\text{sym}\otimes2}</math>는 <math>\mathbf r\otimes\mathbf r</math>의 대칭 성분이고, <math>\mathbf r^{\wedge2}</math>는 <math>\mathbf r\otimes\mathbf r</math>의 반대칭 성분이다.

이들 가운데 다음과 같은 동형이 존재한다.
:<math>\mathfrak{sl}(2|1)=\mathfrak{osp}(2|2)</math>
:<math>\mathfrak{osp}(4|2;1)=\mathfrak{osp}(4|2;-2)=\mathfrak{osp}(4|2;-1/2)=\mathfrak{osp}(4|2)</math>
:<math>\mathfrak{osp}(4|2;\alpha)=\mathfrak{osp}(4|2;\alpha^{-1})=\mathfrak{osp}(4|2;-\alpha-1)</math>
:<math>\mathfrak w(2) = \mathfrak{sl}(2|1)</math>
:<math>\mathfrak s(3) = \mathfrak p(3)</math>
:<math>\mathfrak h(4) = \mathfrak{sl}(2|2)</math>
이 밖에 단순 리 초대수 사이의 다른 동형은 없다.

=== 실수체 위의 고전 단순 리 초대수 ===
실수체 위의 고전 리 초대수 역시 분류되었다.<ref name="Kac77a"/>{{rp|59, Theorem 9, §3}}<ref name="Parker">{{저널 인용|제목=Classification of real simple Lie superalgebras of classical type|저널=Journal of Mathematical Physics|권=21|쪽=689|날짜=1980|doi=10.1063/1.524487|이름=
Monique|성=Parker|언어=en}}</ref>

{| class=wikitable
! 복소화 !! 실수 형태 !! 조건 !! 보손 부분 대수
|-
| rowspan=3 | <math>\mathfrak{sl}(m|n)</math> || <math>\mathfrak{sl}(m|n;\mathbb R)</math> || <math>m \ne n</math> || <math>\mathfrak{sl}(m;\mathbb R) \oplus \mathfrak{sl}(n;\mathbb R)\oplus\mathbb R</math>
|-
| <math>\mathfrak{su}^*(m|n)</math> || <math>m \ne n</math>, <math>2\mid m,n</math> || <math>\mathfrak{su}^*(m) \oplus \mathfrak{su}^*(n)\oplus\mathbb R</math>
|-
| <math>\mathfrak{su}(m-p,p|n-q,q)</math> || <math>m \ne n</math>, <math>0<p<m</math>, <math>0<q<n</math> || <math>\mathfrak{su}(m-p,p)\oplus\mathfrak{su}(n-q,q)\oplus\mathfrak u(1)</math>
|-
| rowspan=4 | <math>\mathfrak{psl}(m|m)</math> || <math>\mathfrak{psl}(m|m;\mathbb R)</math> || || <math>\mathfrak{sl}(m;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(m;\mathbb R)</math>
|-
| <math>\mathfrak{psu}^*(m|m)</math> || <math>2\mid m</math> || <math>\mathfrak{su}^*(m)\oplus\mathfrak{su}^*(m)</math>
|-
| <math>\mathfrak{psu}(m-p,p|m-q,q)</math> || <math>0<p,q<m</math> || <math>\mathfrak{su}(m-p,p)\oplus\mathfrak{su}(m-q,q)</math>
|-
|| (이름 없음) || || <math>\mathfrak{sl}(m;\mathbb C)</math>
|-
| rowspan=2 | <math>\mathfrak{osp}(m|2n)</math> || <math>\mathfrak{osp}(m-p,p|2n;\mathbb R)</math> ||  <math>0\le p\le m </math> || <math>\mathfrak o(m-p,p;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sp}(2n;\mathbb R)</math>
|-
| <math>\mathfrak{osp}^*(m|2n-2q,2q)</math> || <math>2\mid m</math> || <math>\mathfrak o^*(m)\oplus\mathfrak{sp}(2n-2q,2q;\mathbb R)</math>
|-
| <math>\mathfrak{osp}(4|2;\alpha)</math> || <math>\mathfrak{osp}(4-p,p|2;\alpha)</math> || <math>p\in\{0,1,2\} </math>|| <math>\mathfrak o(4-p,p)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)</math>
|-
| rowspan=2 | <math>\mathfrak f(4)</math> || <math>\mathfrak f(7-p,p)</math> || <math>p\in\{0,3\}</math> || <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak o(7-p,p;\mathbb R)</math>
|-
|| <math>\mathfrak f(7-p,p)</math> || <math>p\in\{1,2\}</math> || <math>\mathfrak{su}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak o(7-p,p;\mathbb R)</math>
|-
| rowspan=2 | <math>\mathfrak g(3)</math> || (이름 없음) || || <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak g_{2(-14)}</math>
|-
| (이름 없음) || || <math>\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)\oplus\mathfrak g_{2(2)}</math>
|-
| rowspan=2 | <math>\mathfrak p(n)</math> || <math>\mathfrak p^*(n)</math> || <math>2\mid n</math>|| <math>\mathfrak{su}^*(n)</math>
|-
| <math>\mathfrak p(n;\mathbb R)</math> || || <math>\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)</math>
|-
| rowspan=3 | <math>\mathfrak q(n)</math> || <math>\mathfrak{uq}(n-p,p;\mathbb R)</math> || <math>0\le p\le n</math> || <math>\mathfrak{su}(n-p,p)</math>
|-
| <math>\mathfrak q^*(n)</math> || <math>2\mid n</math> || <math>\mathfrak{su}^*(n)</math>
|-
| <math>\mathfrak q(n;\mathbb R)</math> || || <math>\mathfrak{sl}(n;\mathbb R)</math>
|}

== 예 ==
=== 일반·특수 선형 초대수 ===
<math>(m|n)\times(m|n)</math> '''[[초행렬]]'''은 다음과 같은 꼴의 행렬이다.
:<math>\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}</math>
여기서 <math>A</math>는 <math>m\times m</math>이고, <math>B</math>는 <math>n\times n</math>이다. <math>(m|n)\times(m|n)</math> 초행렬의 모임을 '''일반 선형 리 초대수'''(一般線型Lie超代數, {{llang|en|general linear Lie superalgebra}}) <math>\mathfrak{gl}(m|n)</math>이라고 쓰자. 초행렬의 '''초대각합'''(超對角合, {{llang|en|supertrace}})은 다음과 같다.<ref name="FS">{{저널 인용|제목=Dictionary on Lie superalgebras|이름=L.|성=Frappat|이름2=A.|성2=Sciarrino|이름3=P.|성3=Sorba|arxiv=hep-th/9607161|bibcode=1996hep.th....7161F|날짜=1996-07|언어=en}}</ref>{{rp|§25}}
:<math>\operatorname{str}\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}=\operatorname{tr}A-\operatorname{tr}D</math>

'''특수 선형 리 초대수'''(特殊線型Lie超代數, {{llang|en|special lienar Lie superalgebra}}) <math>\mathfrak{sl}(m|n)</math>는 초대각합이 0인 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.<ref name="FS"/>{{rp|§25}}
:<math>\mathfrak{sl}(m|n)=\{M\in\mathfrak{gl}(m|n)\colon\operatorname{str}(m|n)=0\}</math>
[[단위 행렬]] <math>1_{m|n}</math>의 경우 <math>\operatorname{str}1_{m|n}=m-n</math>이므로, <math>1_{m|n}\in\mathfrak{sl}(m|n)</math>일 [[필요 충분 조건]]은 <math>m=n</math>이다. 이 경우, '''사영 특수 선형 리 초대수'''(射影特殊線型Lie超代數, {{llang|en|projective special linear Lie superalgebra}}) <math>\mathfrak{psl}(m|m)</math>는 다음과 같은, 중심에 대한 몫이다.
:<math>\mathfrak{psl}(m|m)=\left\{[M]_\sim\colon M\in\mathfrak{sl}(m|m),\;M\sim M+1_{m|m}\right\}</math>

=== 직교-심플렉틱 초대수  ===
'''직교-심플렉틱 리 초대수'''(直交symplectic Lie超代數, {{llang|en|orthosymplectic Lie superalgebra}}) <math>\mathfrak{osp}(m|2n)</math>는 다음과 같은 초행렬들로 구성된 리 초대수이다.<ref name="FS"/>{{rp|§25}}
:<math>\mathfrak{osp}(m|2n)=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}(m|n)\colon
A^\top=-A,\;D^\top\Omega=-\Omega D,\;B=C^\top\Omega\right\}</math>
여기서
:<math>\Omega=\begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\-1_{n\times n}&0_{n\times n}\end{pmatrix}</math>
이다.

=== 페리플렉틱 초대수와 이상한 초대수 ===
'''페리플렉틱 리 초대수'''(periplectic Lie超代數, {{llang|en|periplectic Lie superalgebra}}) <math>\mathfrak p(n)</math>는 다음과 같다.<ref name="FS"/>{{rp|§25}}<ref name="CW">{{서적 인용|제목=Dualities and Representations of Lie Superalgebras|이름=Shun-Jen|성=Cheng|이름2=Weiqiang|성2=Wang|isbn= 978-0-8218-9118-6|기타=Graduate Studies in Mathematics 144|url=http://www.ams.org/bookstore-getitem/item=GSM-144|출판사=American Mathematical Society|날짜=2013|언어=en|mr=3012224|zbl=1271.17001}}</ref>{{rp|9, (1.14)}}
:<math>\mathfrak p(n)=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}(n|n)\colon A^\top=-D,\;B^\top=B,\;C^\top=-C,\;\operatorname{tr}A=0\right\}</math>

<math>\tilde{\mathfrak q}(n)</math>를 다음과 같이 정의하자.
:<math>\tilde{\mathfrak q}(n)=\left\{\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}\in\mathfrak{gl}(n|n)\colon A=D,\;B=C,\;\operatorname{tr}B=0\right\}</math>
이 리 초대수는 [[단위 행렬]]로 생성되는 중심을 갖는데, 이에 대한 몫을 '''이상한 리 초대수'''(異常한Lie超代數, {{llang|en|queer Lie superalgebra}}) <math>\mathfrak q(n)</math>이라고 한다.<ref name="FS"/>{{rp|§25}}
:<math>\mathfrak q(n)=\{[M]_\sim\colon M\in\tilde{\mathfrak q}(n),\;M\sim M+1_{n|n}\}</math>

=== 𝔬𝔰𝔭(4|2;''α'') ===
<math>\mathfrak{osp}(4|2;\alpha)</math> 또는 <math>\mathfrak{d}(2,1;\alpha)</math>는 구체적으로 다음과 같다.<ref name="FS"/>{{rp|§20}} 이 리 초대수의 보손 [[리 대수]]는 <math>\mathfrak{sl}(2)^{\oplus3}</math>이며, 이에 대한 [[페르미온]] 표현은 <math>(\mathbf2,\mathbf2,\mathbf2)</math>이다. 이에 따라, 지표
*<math>a,b\in\{1,2,3\}\in\mathbb Z/(3)</math> (<math>\operatorname{Sym}(3)</math>의 정의 표현의 지표)
*<math>i\in\{1,2,3\}</math> (<math>\mathfrak{sl}(2)</math> 지표)
*<math>\alpha,\beta\in\{1,2\}</math> (<math>\mathfrak{sl}(2)</math>의 정의 표현의 지표)
를 사용하면, 보손 생성원 <math>t^a</math> 및 페르미온 생성원 <Math>F_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3}</math>에 대한 리 초괄호는 다음과 같다.
:<math>[t_i^a,t_j^b] = \mathrm i\delta^{ab}\epsilon_{ijk}t^a_k</math>
:<math>[t^a_i,F_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3}] = 
\frac12\sigma^i_{\alpha_a'\alpha_a}F_{\alpha_1\dotso\alpha_a'\dotso\alpha_3}</math>
:<math>\{F_{\alpha_1\alpha_2\alpha_3},F_{\beta_1\beta_2\beta_3}\}
=
\sum_{a=1}^3
s_a
(C\sigma^i)_{\alpha_a\beta_a}
C_{\alpha_{a+1}\beta_{a+1}}
C_{\alpha_{a+2}\beta_{a+2}}
t_i^a\qquad(s_1,s_2,s_3\in\mathbb C)
</math>
이다. 여기서 <math>\sigma^i</math>는 [[파울리 행렬]]이며,
:<math>C = \mathrm i\sigma^2</math>
는 3차원 [[스피너]]의 전하 켤레 행렬이다.

페르미온-페르미온 리 초괄호에 등장하는 세 개의 [[복소수]] 계수 <math>(s_1,s_2,s_3)</math>는 야코비 항등식에 의하여
:<math>s_1+s_2+s_3=0</math>
을 만족시켜야 하며, 또한
:<math>(s_1,s_2,s_3) \sim (s_{\sigma(1)},s_{\sigma(2)},s_{\sigma(3)}) \sim (\lambda s_1,\lambda s_2,\lambda s_3)\qquad(\lambda\in\mathbb C^\times,\;\sigma\in\operatorname{Sym}(3))</math>
이다. 즉, <math>[s_1:s_2:s_3]</math>은 3차원 [[복소수 사영 평면]] <math>\mathbb{CP}^2</math>의 [[동차 좌표]]를 이루며, 그 속에서 가능한 값은
:<math>s_1 + s_2 + s_3 = 0</math>
으로 정의되는 [[사영 직선]]의 <math>\operatorname{Sym}(3)</math>에 대한 몫 [[오비폴드]]이다. 

이에 따라,
:<math>\alpha = s_2 / s_1 \in \mathbb{CP}^1</math>
로 좌표를 잡으면, 그 위의 [[대칭군 (군론)|대칭군]] <math>\operatorname{Sym}(3)</math>의 [[군의 작용|작용]]은 다음과 같다.
:<math>\alpha \sim \alpha^{-1} \sim -(\alpha+1) \sim 
-\frac1{\alpha+1}
\sim
-\frac\alpha{\alpha+1}
\sim
-1-\frac1\alpha
</math>

이 경우, <math>\alpha \sim 1 \sim -2 \sim -1/2</math>인 점은 <math>\mathfrak{osp}(4|2)</math>에 해당한다.

실수 계수의 경우, 가능한 보손 [[리 대수]]는 다음과 같다.<ref name="Parker"/>{{rp|694–695, §5B}}
:{| class=wikitable
! 보손 리 대수 !! 대칭 !! <math>\alpha</math>의 조건 !! <math>\alpha</math>의 [[동치 관계]] !! <math>\alpha</math>의 표준 영역
|-
| <math>\mathfrak o(2,2;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R) \cong \mathfrak{sl}(2;\mathbb R)^{\oplus3}</math> || <math>\operatorname{Sym}(3)</math> || <math>\alpha\in\mathbb{RP}^1</math> || <math>\alpha\sim1/\alpha\sim-1-\alpha</math> || <math>\alpha\in[0,1]</math>
|-
| <math>\mathfrak o(3,1;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R) \cong\mathfrak{sl}(2;\mathbb C)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)</math> || <math>1</math> || <math>\alpha \in -1/2 + \mathrm i\mathbb R</math> || (없음) || <math>\alpha\in-1/2+\mathrm i\mathbb R</math>
|-
| <math>\mathfrak o(4;\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R) \cong\mathfrak{su}(2\mathbb R)^{\oplus2}\oplus\mathfrak{sl}(2;\mathbb R)</math> || <math>\operatorname{Sym}(2)</math> || <math>\alpha\in\mathbb{RP}^1</math> || <math>\alpha\mapsto 1/\alpha</math> || <math>\alpha\in[-1,1]</math>
|}

이 경우, 복소수 계수 <math>\alpha</math>의 가능한 값은 실수 조건을 통해 제한되며, 그 <math>\operatorname{Sym}(3)</math> 대칭 또한 위와 같이 깨지게 된다. 이 경우, 가능한 <math>\alpha</math>의 동치 관계는 위 표와 같으며, 이 동치 관계의 동치류들은 위 표준 영역의 원소와 [[일대일 대응]]한다.

=== 카르탕형 리 초대수 ===
[[체 (수학)|체]] <math>K</math> 위의 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위의 [[외대수]] <math>\textstyle\bigwedge V</math> 위의 <math>\mathbb Z/2</math>-등급 [[미분 대수|미분]]들, 즉 <math>K</math>-[[선형 변환]]
:<math>d\colon \bigwedge(V)\to\bigwedge(V)</math>
가운데
:<math>d(a\vee b) = (da)\wedge b + (-)^{\deg a}a \wedge db\qquad\left(b\in \bigwedge(V),\;a\in\bigwedge_{2\bullet+1}(V)
\cup \bigwedge_{2\bullet}(V)
\right)</math>
를 만족시키는 것들의 [[벡터 공간]]을 <math>\operatorname W(V)</math>라고 하자. <math>V</math>의 [[기저 (선형대수학)|기저]] <math>(v_i)_{i\in I}</math>를 잡았을 때, <math>d\in \operatorname W(V)</math>는 다음과 같이 표현될 수 있다.
:<math>d = \sum_{i\in I} a_i \frac\partial{\partial v_i}\qquad\left(a_i\in \bigwedge(V)\;\forall i\in I\right)</math>
<math>\textstyle\bigwedge(V)</math>의 <math>\mathbb Z</math>-등급으로부터, 이는 <math>\operatorname W(V)</math> 위에 <math>\mathbb Z</math>-등급을 정의한다. 그 위의 리 초괄호는 단순히
:<math>[d,d'] = d\circ d' \pm d'\circ d</math>
이며, 여기서 ± 부호는 <math>\mathbb Z/2</math> 등급에 의하여 결정된다.

만약 <math>V</math>가 2 이상의 유한 차원 [[벡터 공간]]이라면, 이는 단순 리 초대수를 이룬다. 이를 <Math>\mathfrak w(\dim V)</math>로 표기한다.

'''특수 카르탕형 리 초대수'''({{llang|en|special Cartan-type Lie superalgebra}}) <math>\mathfrak s(n)</math>과 <math>\mathfrak s(n)</math> 및 '''해밀턴형 리 초대수'''({{llang|en|Hamilton-type Lie superalgebra}}) <math>\mathfrak h(n)</math>은 모두 <math>\mathfrak w(n)</math>의 부분 리 초대수이다.

== 역사 ==
단순 리 초대수의 분류는 [[빅토르 카츠]]가 1975년에 완성하였다.<ref>{{저널 인용|url=http://mi.mathnet.ru/faa2273|이름=Виктор Гершевич|성=Кац|저자링크=빅토르 카츠|제목=Классификация простых супералгебр Ли|저널=Функциональный анализ и его приложения|날짜=1975-02-19|권=9|호=3|쪽=91–92|언어=ru}}</ref><ref name="Kac77a">{{저널 인용|제목=A sketch of Lie superalgebra theory|이름=Victor G.|성=Kac|저자링크=빅토르 카츠|저널=Communications in Mathematical Physics|권=53|호=1|날짜=1977-02|쪽=31–64|mr=0442049|zbl=0359.17009|bibcode= 1977CMaPh..53...31K|doi=10.1007/BF01609166|issn=0010-3616|url=
https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103900590 |언어=en}}</ref><ref>{{저널 인용|제목=Lie superalgebras|이름=Victor G.|성=Kac|저자링크=빅토르 카츠|저널=Advances in Mathematics|권=26|호=1|날짜=1977-10|쪽=8–96|doi=10.1016/0001-8708(77)90017-2|issn=0001-8708|mr=0486011|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|제목=Lie superalgebras and enveloping algebras|이름=Ian M.|성=Musson|출판사=American Mathematical Society|날짜=2012|isbn=978-0-8218-6867-6|url=http://www.ams.org/bookstpore-getitem/item=gsm-131|총서=Graduate Studies in Mathematics|권=131|mr=2906817|zbl=1255.17001|언어=en}}{{깨진 링크|url=http://www.ams.org/bookstpore-getitem/item=gsm-131 }}
* {{저널 인용|제목=Lie superalgebras|저널=Journal of Soviet Mathematics|날짜=1985-09|권=30|호=6|쪽=2481–2512|doi=10.1007/BF02249121|issn=0090-4104|이름=D. A.|성=Leites|언어=en}}
* {{저널 인용|제목=Dualities for Lie superalgebras|arxiv=1001.0074|bibcode=2010arXiv1001.0074C|이름=
Shun-Jen|성=Cheng|이름2=Weiqiang |성2=Wang|날짜=2010-01|언어=en}}
* {{서적 인용|제목=Group theory: a physicist’s survey|이름=Pierre|성=Ramond|저자링크=피에르 라몽|isbn=9780521896030|날짜=2010-05|url=http://www.cambridge.org/gb/knowledge/isbn/item2710157/ | 출판사=Cambridge University Press|zbl=1205.20001|mr=2663568|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=V.|성=Rittenberg|날짜=1978|장=A guide to Lie superalgebras|제목=Group theoretical methods in physics: Sixth International Colloquium, Tübingen, 1977|doi=10.1007/3-540-08848-2_1|isbn=978-3-540-08848-6|쪽=3–21|url=http://ccdb5fs.kek.jp/cgi-bin/img_index?197801051|총서=Lecture Notes in Physics|권=79|issn=0075-8450|출판사=Springer|언어=en|확인날짜=2017-11-22|보존url=https://web.archive.org/web/20150623121036/http://ccdb5fs.kek.jp/cgi-bin/img_index?197801051#|보존날짜=2015-06-23|url-status=dead}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=general linear supergroup|title=General linear supergroup}}
* {{nlab|id=orthosymplectic super Lie algebra|title=Orthosymplectic super Lie algebra}}

[[분류:초대칭]]
[[분류:리 대수]]