단면환 문서 원본 보기

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[[대수기하학]]에서 '''단면환'''(斷面環, {{llang|en|ring of sections}})은 어떤 [[가역층]]의 거듭제곱들의 단면들로 구성된 [[등급환]]이다. 그 차원&minus;1을 가역층의 '''이타카 차원'''([飯高]次元, {{llang|en|Iitaka dimension}})이라고 한다.

== 정의 ==
다음이 주어졌다고 하자.
* [[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>
* <math>K</math> 위의 [[대수다양체]] <math>X</math>
* <math>X</math> 위의 [[가역층]] <math>\mathcal L</math>
그렇다면, 다음과 같은, [[자연수]](음이 아닌 정수) 등급의, <math>K</math> 위의 [[등급 대수]]를 정의할 수 있다.
:<math>\operatorname R(\mathcal L) = \bigoplus_{n=0}^\infty\Gamma(X;\mathcal L^{\otimes n})</math>
:<math>\operatorname R^n(\mathcal L) = \Gamma(X;\mathcal L^{\otimes n})</math>
즉, 그 속에서 <math>n</math>차 등급의 원소는 [[가역층]] <math>\mathcal L^{\otimes n}</math>의 단면이다. 이를 <Math>\mathcal L</math>의 '''단면환'''이라고 한다.

단면환은 <math>K</math>-[[벡터 공간]]이며, 항상 단면들로 정의되는, [[사영 공간]]으로의 [[유리 사상]]
:<math>X \to \mathbb P(\operatorname R(\mathcal L)) \cong \mathbb P_K^{\dim_K\operatorname R(\mathcal L)-1}</math>
이 존재한다. 이 사영 공간의 차원(즉, 단면환의 차원 빼기 1)을 <math>\mathcal L</math>의 '''이타카 차원'''이라고 한다. 다만, 만약 <math>\mathcal L</math>이 [[효과적 인자]]가 아니어서 단면을 가지지 않는다면, 이타카 차원은 <math>-\infty</math>로 놓는다.

=== 큰 가역층 ===
다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 가역층을 '''큰 가역층'''({{llang|en|big invertible sheaf}})이라고 한다.
* <math>\mathcal L</math>은 [[풍부한 가역층]]과 [[효과적 인자|효과적]] 가역층의 텐서곱으로 나타낼 수 있다.
* 이타카 차원이 상계 <math>\dim X</math>를 포화한다.
* 단면환의 [[힐베르트 다항식]]은 <math>\dim X</math>차 다항식이다.
이 조건은 [[쌍유리 변환]]에 대하여 불변이며, 따라서 쌍유리 기하학에서 중요하게 쓰인다.

== 역사 ==
이타카 시게루({{llang|ja|{{ruby-ja|飯高 茂|いいたか しげる}}}}, 1942〜)가 이타카 차원의 개념을 “D-차원”({{llang|en|D-dimension}})이라는 이름으로 도입하였다.<ref>{{저널 인용|mr=0285532
|last=Iitaka|first= Shigeru
|title=On D-dimensions of algebraic varieties 
|journal=Proc. Japan Acad. |volume=46|year= 1970|pages= 487–489|doi=10.3792/pja/1195520260|언어=en }}</ref><ref>{{저널 인용|mr=0285531 |zbl=0212.53802
|last=Iitaka|first= Shigeru
|title=On D-dimensions of algebraic varieties. 
|journal=J. Math. Soc. Japan |volume=23 |year=1971 |pages=356–373|doi=10.2969/jmsj/02320356|언어=en}}</ref>

== 각주 ==
{{각주}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:벡터 다발]]