다항식환 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
[[대수학]]에서 '''다항식환'''(多項式環, {{llang|en|polynomial ring}})은 어떤 주어진 [[환 (수학)|환]]을 계수로 하는 [[다항식]]들로 구성된 [[환 (수학)|환]]이다.

== 정의 ==
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대한 '''다항식환''' <math>R[x]</math>는 집합으로서
:<math>\{p\in R^{\mathbb N}\colon|\{n\in\mathbb N\colon p_n\ne0\}|<\aleph_0\}</math>
이다. 이 집합의 원소를 '''[[다항식]]'''이라고 한다. 각 원소 <math>p\in R[x]</math>를
:<math>p(x)=\sum_{n=0}^\infty p_nx^n=p_0+p_1x+p_2x^2+\cdots</math>
으로 쓰자. 이 집합에서 덧셈
:<math>p(x)+q(x)=\sum_{n=0}^\infty(p_n+q_n)x^n</math>
은 성분에 따른 합이며, 또한 자연스럽게 좌·우 <math>R</math>-[[가군]] 구조가 존재한다.
:<math>rp(x)=\sum_{n=0}^\infty rp_nx^n</math>
:<math>p(x)r=\sum_{n=0}^\infty p_nrx^n</math>
또한, <math>R[x]</math>에는 다음과 같은 [[환 (수학)|환]]의 구조가 존재한다.
:<math>p(x)q(x)=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^np_kq_{n-k}x^n</math>

'''다변수 다항식환'''(多變數多項式環, {{llang|en|polynomial ring in several variables}}) <math>R[x_1,x_2,\dots,x_n]</math>은 <math>R[x_1][x_2]\cdots[x_n]</math>과 같다. 다변수 다항식환의 각 원소 <math>p\in R[x_1,\dots,x_k]</math>는
:<math>p(x_1,\dots,x_n)=\sum_{n_1=0}^\infty\cdots\sum_{n_k=0}^\infty p_{n_1,\dots,n_k}x_1^{n_k}\cdots x_k^{n_k}</math>
로 표기한다.

== 성질 ==
=== 차수 ===
{{참고|다항식#차수}}
[[다항식]] <math>0\ne p\in R[x]</math>의 '''차수'''(次數, {{llang|en|degree}})는
:<math>\deg p=\max\{n\in\mathbb N\colon p_n\ne0\}</math>
이다. [[다항식]] 0의 차수는 정의되지 않는다 (일부 문헌은 <math>\deg 0=-\infty</math> 또는 <math>\deg 0=-1</math>을 사용한다).

보다 일반적으로, [[다변수 다항식]] <math>0\ne p\in R[x_1,\dots,x_k]</math>의 '''차수'''는
:<math>\deg p=\max\{n_1+\cdots+n_k\colon p_{n_1,\dots,n_k}\ne 0\}</math>
이다.

[[다항식]] <math>p,q\in R[x]</math> (또는 [[다변수 다항식]] <math>p,q\in R[x_1,\dots,x_k]</math>)가 주어졌고, 편의상 <math>\deg 0=-\infty</math>라고 하자. 그렇다면 다음 성질들이 성립한다.
* <math>\deg(p+q)\le\max\{\deg p,\deg q\}</math>
* 만약 <math>\deg p\ne\deg q</math>라면, <math>\deg(p+q)=\max\{\deg p,\deg q\}</math>
* <math>\deg(pq)\le\deg p+\deg q</math>
* 만약 <math>R</math>가 [[영역 (환론)|영역]]이라면, <math>\deg(pq)=\deg p+\deg q</math>

=== 근 ===
[[다항식]] <math>p\in R[x]</math>의 '''근'''(根, {{llang|en|root}})은 <math>p(r)=0</math>을 만족시키는 [[환 (수학)|환]]의 원소 <math>r\in R</math>를 뜻한다. 이 경우 <math>(x-r)^m\mid p(x)</math>를 만족시키는 최대의 정수 <math>m</math>을 근 <math>r</math>의 '''중복도'''(重復度, {{llang|en|multiplicity}})라고 한다. 중복도가 1인 근을 '''단순근'''(單純根, {{llang|en|simple root}})이라고 하고, 중복도가 2 이상인 근을 '''다중근'''(多重根, {{llang|en|multiple root}})이라고 한다.

[[가환환]] <math>R</math>를 계수로 하는 [[다항식]] <math>p\in R[x]</math> 및 [[환 (수학)|환]]의 원소 <math>r\in R</math>가 주어졌다고 하자. [[인수 정리]]에 따르면, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>r</math>는 <math>p(x)</math>의 근이다.
* <math>x-r\mid p(x)</math>

[[가환환]] <math>R</math>를 계수로 하는 [[다항식]] <math>p\in R[x]</math>의 근 <math>r\in R</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>r</math>는 <math>p(x)</math>의 단순근이다.
* <math>p'(r)\ne 0</math>

[[환의 표수|표수]] <math>c</math>의 [[체 (수학)|체]] <math>K</math>를 계수로 하는 [[다항식]] <math>p\in K[x]</math>의 근 <math>a\in K</math>의 중복도가 <math>m</math>이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.
* 만약 <math>c\nmid m</math>이라면, <math>p'(x)</math>에 대한 <math>a</math>의 중복도는 <math>m-1</math>이다.
* 만약 <math>c\mid m</math>이라면, <math>p'(x)</math>에 대한 <math>a</math>의 중복도는 <math>m</math> 이상이다.
특히, 만약 <math>c=0</math>이거나 <math>c>m</math>이라면, <math>p(x)</math>에 대한 <math>a</math>의 중복도는
:<math>m=\min\{k\in\mathbb Z^+\colon p^{(k)}(a)\ne 0\}</math>
이다.

[[대수적으로 닫힌 체]] <math>K</math>를 계수로 하는 [[다항식]] <math>p\in K[x]</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>p(x)</math>는 다중근을 가진다.
* <math>\gcd\{p(x),p'(x)\}\ne 1</math>

[[체 (수학)|체]] <math>K</math>를 계수로 하는 [[기약 다항식]] <math>p\in K[x]</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>p(x)</math>는 [[분해 가능 다항식]]이다. (즉, [[대수적 폐포]] <math>\bar K</math>에서 다중근을 가진다.)
* <math>p'(x)=0</math>
특히, 만약 <math>K</math>의 [[환의 표수|표수]]가 0이거나, <math>K</math>가 [[유한체]]라면, <math>p(x)</math>는 [[분해 가능 다항식]]이다.

=== 환론적 성질 ===
[[환 (수학)|환]] <math>R</math>에 대하여,
* 만약 <math>R</math>가 [[가환환]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[가환환]]이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[영역 (환론)|영역]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[영역 (환론)|영역]]이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[정역]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[정역]]이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[유일 인수 분해 정역]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[유일 인수 분해 정역]]이다.
* ([[힐베르트 기저 정리]]) 만약 <math>R</math>가 [[가환환|가환]] [[뇌터 환]]이라면, <math>R[x]</math> 역시 [[가환환|가환]] [[뇌터 환]]이다.
* 만약 <math>R</math>가 [[체 (수학)|체]]라면, <math>R[x]</math>는 [[유클리드 정역]]이다.

[[영역 (환론)|영역]] <math>R</math>를 계수로 하는 [[다항식]] <math>p\in R[x]</math>에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* <math>p(x)</math>는 <math>R[x]</math>의 [[가역원]]이다.
* <math>p\in R</math>이며, <math>p</math>는 <math>R</math>의 [[가역원]]이다.

=== 보편 성질 ===
다항식환은 다음과 같은 [[보편 성질]]을 만족시킨다. 임의의 [[가환환]] <math>R</math>, <math>S</math> 및 [[환 준동형]] <math>\phi\colon R\to S</math> 및 원소 <math>s\in S</math>에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 [[환 준동형]] <math>\widetilde\phi\colon R[x]\to S</math>가 존재한다.
* <math>\widetilde\phi|_R=\phi</math>
* <math>\phi(x)=s</math>
특히, 다음 그림이 가환한다.
:<math>\begin{matrix}
R & \hookrightarrow            & R[x]                                   \\
  & {\scriptstyle\phi}\searrow & \downarrow{\scriptstyle\widetilde\phi} \\
  &                            & S
\end{matrix}</math>
구체적으로,
:<math>\widetilde\phi\colon p(x)\mapsto\sum_{n=0}^\infty\phi(p_n)s^n</math>
이다.

== 같이 보기 ==
* [[비가환 다항식환]]

== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용
|성=Grillet
|이름=Pierre Antoine
|제목=Abstract Algebra
|언어=en
|판=2
|총서=Graduate Texts in Mathematics
|권=242
|출판사=Springer
|위치=New York, NY
|날짜=2007
|isbn=978-0-387-71567-4
|issn=0072-5285
|doi=10.1007/978-0-387-71568-1
|lccn=2007928732
}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=PolynomialRing|title=Polynomial ring}}

{{전거 통제}}

[[분류:환론]]
[[분류:가환대수학]]
[[분류:대수]]