다항식의 나머지 정리 문서 원본 보기

{{위키데이터 속성 추적}}
{{구별2|중국인의 나머지 정리}}
{{구별2|베주 정리}}
[[대수학]]에서 '''(다항식) 나머지 정리'''((多項式)-定理, {{llang|en|(polynomial) remainder theorem}}) 또는 '''베주의 소정리'''({{llang|en|Little Bézout's theorem}}, [[프랑스]]의 수학자인 [[에티엔 베주]]에서 이름을 따옴)<ref>{{저널 인용|저자=Piotr Rudnicki|제목=Little Bézout Theorem (Factor Theorem)|저널=Formalized Mathematics|권=12|호=1|연도=2004년|쪽=49–58|url=http://mizar.org/fm/2004-12/pdf12-1/uproots.pdf}}</ref>는 다항식을 1차 다항식으로 나눈 나머지를 구하는 정리이다. 대략 다항식 <math>f(x)</math>를 1차 다항식 <math>x-a</math>로 나눈 나머지가 <math>f(a)</math>라고 말한다.

[[나눗셈 정리]]의 따름정리이며 [[인수 정리]]를 특수한 경우로 포함한다. 후자에 따르면 <math>x-a</math>는 <math>f(a)=0</math>인 경우에만 <math>f(x)</math>의 약수이다.<ref>Larson, Ron (2014), College Algebra, Cengage Learning</ref> 여러 개의 근을 갖는 다항식은 인수 정리를 반복적으로 적용하여 인수분해 할 수 있다.<ref>Larson, Ron (2011), Precalculus with Limits, Cengage Learning</ref>

== 정의 ==
{{참고|나눗셈 정리#나머지 정리}}
[[가환환]] <math>R</math> 및 [[다항식]] <math>f\in R[x]</math> 및 <math>a\in R</math>가 주어졌다고 하자. '''나머지 정리'''에 따르면, 다항식 <math>f(x)</math>를 다항식 <math>x-a</math>로 나눈 나머지는 <math>f(a)</math>이다.

더 일반적으로, [[환 (수학)|환]] <math>R</math> 및 [[다항식]] <math>f\in R[x]</math> 및 [[환의 중심]]의 원소 <math>a\in\operatorname Z(R)</math>가 주어졌다고 하자. '''나머지 정리'''에 따르면, 다항식 <math>f(x)</math>를 다항식 <math>x-a</math>로 나눈 나머지는 <math>f(a)</math>이다.

== 증명 ==
{{증명|제목=나눗셈 정리를 통한 증명}}
<math>x-a</math>가 1차 [[일계수 다항식]]이므로, 다항식의 [[나눗셈 정리]]에 따라 다음 조건을 만족시키는 몫 <math>q\in R[x]</math> 및 나머지 <math>r\in R</math>가 유일하게 존재한다.
:<math>f(x)=(x-a)q(x)+r</math>
나머지 <math>r</math>가 환의 원소인 것은 나머지의 정의에 따라 <math>r=0</math>이거나
:<math>\deg r<\deg(x-a)=1</math>
이어야 하기 때문이다. 따라서
:<math>f(a)=(a-a)q(a)+r=0q(a)+r=r</math>
이다.
{{증명 끝}}
{{증명|제목=테일러 전개를 통한 증명}}
다음 등식을 <math>R[x]</math> 위에서 보일 수 있다.
:<math>f(x)=f(x-a+a)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}2(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(\max\{\deg f,0\})}(a)}{n!}(x-a)^{\max\{\deg f,0\}}</math>
여기서
:<math>\frac{f^{(i)}(x)}{i!}=\sum_{k=i}^{\max\{\deg f,0\}}\binom kia_kx^{k-i}\in R[x]</math>
는 <math>R</math>의 [[환의 표수|표수]]가 0이 아니더라도 잘 정의된다. 특히, <math>f</math>를 <math>x-a</math>로 나눈 나머지는 <math>f(a)</math>이다.
{{증명 끝}}
{{증명|제목=인수 분해를 통한 증명}}
<math>f(x)-f(a)</math>가 <math>x-a</math>의 배수임을 보이면 된다. <math>f(x)-f(a)</math>는
:<math>x^i-a^i=(x-a)(x^{i-1}+x^{i-2}a+\cdots+xa^{i-2}+a^{i-1})</math>
꼴의 다항식들의 <math>R</math>-선형 결합이므로 <math>x-a</math>의 배수가 맞다.
{{증명 끝}}

== 예 ==
다항식 <math>f(x) = x^3 - 12x^2 - 42</math>에서 <math>x-3</math>으로 나눈 몫과 나머지는 각각 <math>x^2 - 9x - 27</math>과 <math>-123</math>이다. 따라서 <math>f(3)=-123</math>이다.

== 응용 ==
나머지 정리에 따라, <math>f(a)</math>는 <math>f(x)</math>를 <math>x-a</math>로 나누는 [[조립제법]]을 통해 계산할 수 있다. 함수에의 대입은 직접 계산하는 것보다 조립제법을 사용하는 방법이 계산의 대가가 더 적다.

[[인수 정리]]는 나머지 정리에서 <math>f(a)=0</math>인 특수한 경우이다.

== 참고 문헌 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{웹 인용|제목=나머지정리, 인수정리|웹사이트=수학방|url=https://mathbang.net/316}}
* {{eom|제목=Bezout theorem}}
* {{매스월드|id=PolynomialRemainderTheorem|제목=Polynomial remainder theorem}}
* {{웹 인용|제목=Remainder theorem and factor theorem|언어=en|웹사이트=Math is Fun|url=https://www.mathsisfun.com/algebra/polynomials-remainder-factor.htm}}

[[분류:다항식에 대한 정리]]