다중지표 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''다중지표'''(多重指標, {{llang|en|multi-index}})는 [[자연수]]의 [[튜플]]이다. [[다변수 미적분학]]에서 복잡한 미분 연산자를 간략히 표기하기 위하여 쓰인다.

== 정의 ==
'''''n''차원 다중지표''' <math>I=(I_1,I_2,\dots,I_n)</math>은 <math>\mathbb N^n</math>의 원소다. 즉, <math>n</math>개의 음이 아닌 정수들의 수열이다. 다중지표들은 덧셈에 대하여 [[모노이드]]를 이룬다. 다중지표의 '''절댓값'''은 그 성분들의 합이다.
:<math>|I|=\sum_{i=1}^nI_i\in\mathbb N</math>

=== 조합론 ===
다중지표의 '''[[계승 (수학)|계승]]'''은 각 성분들의 계승들의 곱이다.
:<math>I!=\prod_{i=1}^nI_i!</math>
이를 통해, 다중지표의 [[이항계수]]도 정의할 수 있다.
:<math>\binom IJ=\frac{I!}{J!(I-J)!}=\prod_{i=1}^n\binom{I_i}{J_i}</math>

=== 다변수 미적분학 ===
<math>x=(x_1,x_2,\dots,x_n)</math>이 <math>n</math>개의 변수들의 [[튜플]]이라고 하자. 만약 다중지표 <math>I\in\mathbb N^n</math>이 주어졌다면, 다중지표로의 '''지수'''를 다음과 같이 정의한다.
:<math>x^I=x_1^{I_1}x_2^{I_2}\dotsb x_n^{I_n}</math>
마찬가지로, <math>n</math>차원 [[매끄러운 다양체]]의 국소좌표계 <math>(\partial/\partial x^1,\partial/\partial x^2,\dots,\partial/\partial x^n)</math>이 주어졌다면, 다중지표에 대한 '''편미분'''을 다음과 같이 정의한다.
:<math>\partial_I=\frac\partial{\partial x^I}=\frac{\partial^{I_1}}{(\partial x^1)^{I_1}}\frac{\partial^{I_2}}{(\partial x^2)^{I_2}}\dotsb\frac{\partial^{I_n}}{(\partial x^n)^{I_n}}</math>

== 같이 보기 ==
* [[아인슈타인 표기법]]

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Multi-IndexNotation|title=Multi-index notation}}
* {{웹 인용|url=http://www.johndcook.com/multi_index.pdf|제목=Multi-index notation|이름=John D.|성=Cook|날짜=2008-09-18|언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:다변수 미적분학]]
[[분류:조합론]]