다중로그 문서 원본 보기

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[[수학]]에서 '''다중로그'''(多重log, {{llang|en|polylogarithm|폴리로거리듬}}) 또는 '''폴리로그'''는 [[로그]]를 일반화한 [[특수 함수]]이다.

== 역사 ==
이중로그는 17세기부터 수학계에 등장하기 시작하였다.<ref>{{저널 인용| last= Maximon | first= L.C. | title= The dilogarithm Function for complex argument | journal= Proceedings of the Royal Society A | 날짜= 2003 | volume= 459 | issue= 2039 | pages= 2807–2819 | doi= 10.1098/rspa.2003.1156|zbl= 1050.33002|언어=en}}</ref> 존 랜던({{llang|en|John Landen}})은 이중로그에 대한 '''랜던 항등식'''을 1760년 증명하였다. [[레온하르트 오일러]]와 [[닐스 헨리크 아벨]]은 이중로그에 대한 '''아벨 항등식'''을 1826년에 증명하였으나, 이 논문은 사후에 1881년에야 출판되었다.<ref>{{서적 인용| last= Abel | first= N.H. | authorlink=닐스 헨리크 아벨 | 장= Note sur la fonction <math>\scriptstyle \psi x \,= \,x+ \frac{x^2}{2^2}+ \frac{x^3}{3^2}+ \cdots+ \frac{x^n}{n^2}+ \cdots</math> | 언어=fr | 장url= http://www.abelprisen.no/nedlastning/verker/oeuvres_1881_del2/oeuvres_completes_de_abel_nouv_ed_2_kap14_opt.pdf |  editor1-last= Sylow | editor1-first= L. | editor2-last= Lie | editor2-first= S. | title= Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II | location= Christiania | publisher= Grøndahl & Søn | origyear= 1826 | 날짜= 1881 | pages= 189–193 }}</ref>

일반적인 다중로그는 종키에르({{llang|fr|A. Jonquière}})가 1889년 다루었다.<ref>{{저널 인용| last= Jonquière | first= A. | title= Note sur la série <math>\scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s}</math> | 언어= fr | url= http://archive.numdam.org/item?id=BSMF_1889__17__142_1  | journal= Bulletin de la Société Mathématique de France | 날짜= 1889 | volume= 17 | pages= 142–152 | jfm= 21.0246.02 }}</ref> 이 때문에 다중로그는 '''종키에르 함수'''라고 불리기도 한다.

== 정의 ==
임의의 복소수 <math>s\in\mathbb C</math>와 <math>|z|<1</math>인 복소수 <math>z\in\mathbb C</math>에 대하여, '''다중로그''' <math>\operatorname{Li}_s(z)</math>는 다음과 같은 [[급수 (수학)|급수]]로 정의된다.
:<math>\operatorname{Li}_s(z)=z+z^2/2^s+z^3/3^s+\dots</math>
이는 모든 <math>z\in\mathbb C</math>에 대하여 [[해석적 연속]]으로 [[정칙함수|정칙적]]으로 확장할 수 있다. 이 경우 [[극점 (복소해석학)|극점]]이나 [[본질적 특이점]]은 존재하지 않지만, 일부 <math>s</math>에서는 [[분지절단]]을 갖는다. 이 경우 분지점은 <math>z=1</math>과 <math>z=\infty</math>이며, 통상적으로 1 이하의 실수에 대하여 분지절단을 가한다.

<math>s=2</math>인 경우 '''이중로그'''(二重log, {{llang|en|dilogarithm}}), <math>s=3</math>인 경우 '''삼중로그'''(三重log, {{llang|en|trilogarithm}}) 따위의 이름을 사용한다.

== 성질 ==
정의에 따라, <math>z=1</math>인 경우 다중로그는 단순히 [[리만 제타 함수]]이다.
:<math>\operatorname{Li}_s(1)=\zeta(s)</math>
마찬가지로, <math>z=-1</math>인 경우 다중로그는 [[디리클레 에타 함수]]이다.
:<math>\operatorname{Li}_s(-1)=-\eta(s)</math>

다중로그의 도함수는 낮은 차수의 다중로그로 주어진다. 이는 급수 정의로부터 쉽게 유도된다.
:<math>z\frac{\partial\operatorname{Li}_{s}(z)}{\partial z} = \operatorname{Li}_{s-1}(z)</math>

=== 낮은 차수의 다중로그 ===
1중로그는 다음과 같이 (통상적) [[로그]]로 주어진다. (이 때문에 ‘다중로그’라는 이름이 붙었다.)
:<math>\operatorname{Li}_1(z)=-\ln(1-z)</math>
도함수 공식을 사용하여, 0 이하의 정수 차수의 다중로그는 다음과 같이 [[유리 함수]]임을 증명할 수 있다.
:<math>\operatorname{Li}_{-n}(z) = \left( z\frac\partial{\partial z}\right)^n\frac z{1-z}= \sum_{k=0}^n k!S(n+1, k+1) \left(\frac z{1-z}\right)^{k+1} \qquad (n=0,1,2,\ldots)</math>
여기서 <math>S(n,k)</math>는 [[제2종 스털링 수]]이다.

=== 적분 표현 ===
다중로그는 다음과 같은 적분으로 표현할 수 있다. 이러한 적분들은 [[통계역학]]에서 [[보스-아인슈타인 통계]]와 [[페르미-디랙 통계]]를 다룰 때 등장한다. '''보스-아인슈타인 적분 표현'''은 다음과 같다.
:<math>\operatorname{Li}_s(z)=\frac1{\Gamma(s)}
\int_0^\infty {t^{s-1} \over e^t/z-1} \,dt \qquad\left(\operatorname{Re}s>0,\;z\in\mathbb C\setminus[1,\infty)\right)</math>
'''페르미-디랙 적분 표현'''은 다음과 같다.
:<math>
\operatorname{Li}_{s}(-z) = -\frac1{\Gamma(s)}\int_0^\infty {t^{s-1} \over e^t/z+1} \,dt\qquad\left(\operatorname{Re}s>0,\;z\in\mathbb C\setminus(-\infty,-1]\right)
</math>

== 각주 ==
{{각주}}

== 외부 링크 ==
* {{매스월드|id=Polylogarithm|title=Polylogarithm}}
* {{수학노트|title=폴리로그 함수(polylogarithm)}}
* {{수학노트|title=다이로그 함수(dilogarithm)}}

[[분류:특수 함수]]
[[분류:제타 함수와 L-함수]]