다중근호 문서 원본 보기

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'''다중근호'''(多重根號, {{lang|en|nested radical sign}})는 [[제곱근|루트]] [[근호]]안에 1개이상의 루트 근호를 포함하는 루트를 말한다.

다중근호는 [[고차방정식]]의 해, [[수학 상수]] 등을 표현할 때 중요하게 사용된다.

다중근호의 종류로는 이중근호, 다중근호, 중첩근호 등이 있다.

==이중근호==
루트 근호안에 1개의 루트 근호를 포함한다.
:<math>   \sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}</math>

==다중근호==
루트 근호안에 2개이상의 루트 근호를 포함한다.
:<math> \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} , \sqrt{(\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2+2\sqrt{ab}}</math>

==중첩근호==
<!-- 루트 근호안에   루트 근호를 갖는 수식이 반복해서 중첩되는 규칙적으로  무한히 내재한다.  -->
루트 근호안에   루트 근호를 갖는 수식이 반복해서 중첩되게 내재한다.

:<math>\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1...}}}}}</math>
:<math>\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+   \cdots} }}} } }</math>

==다중근호의 계산==
:<math>\sqrt{\sqrt{(a)^2}+\sqrt{(b)^2}+2\sqrt{ab}}=\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)+2\sqrt{ab}}= \sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2}=\sqrt{a}+\sqrt{b}</math>

: <math> \sqrt[4]{\frac{3 + 2 \sqrt[4]{5}}{3 - 2 \sqrt[4]{5}}} = \frac{ \sqrt[4]{5} + 1}{\sqrt[4]{5} - 1}=\tfrac12\left(3+\sqrt[4]5+\sqrt5+\sqrt[4]{125}\right)</math>

: <math>\sqrt[3]{\ \sqrt[3]{2}\ - 1}= \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}} </math><ref>{{저널 인용| title = RADICALS AND UNITS IN RAMANUJAN’S WORK | first = Susan | last = Landau | authorlink = Susan Landau | url = http://www.math.uiuc.edu/~berndt/articles/radicals.ps | format = PostScript }}</ref>

:<math> \sqrt{a}+\sqrt{a}=\sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{a})^2} = \sqrt{(\sqrt a)^2+(\sqrt a)^2+2\sqrt{aa}} =  \sqrt{(a+a)+2\sqrt{a^2}}= \sqrt{(a+a)+2{a}} = \sqrt{2a+2a} =\sqrt{4a} =2\sqrt{a} </math>
:<math> \;\; \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}= \sqrt{(a+b+c)+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\right)}   =\sqrt{\sqrt{a}^2+\sqrt{b}^2+\sqrt{c}^2+2\sqrt{ab}+2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}}=\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right)^2}=\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \right)}\sqrt{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b} +\sqrt{c}\right)} </math>

==고차방정식의 해==
[[3차방정식]]이상의 일반적인 [[근 (수학)|근]]에서 다중근호가 사용된다.
다음은 [[4차방정식]]의 근의 공식이다.
:<math>\textstyle a x^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e = 0\   </math>
:<math>x=  -{b \over 4a} + \left( {{\sqrt{p +2t_1} +\sqrt{  -3p - 2{t_1}   -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}}  } \over {2a} } \right)     ,  -{b \over 4a} + \left( {{\sqrt{p +2t_1} -\sqrt{ -3p - 2{t_1}  -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}}  } \over {2a} } \right) </math><br />
:<math> ,   -{b \over 4a} - \left( {{\sqrt{p +2t_1} +\sqrt{  -3p - 2{t_1}   -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}}  } \over {2a} } \right)
 ,   -{b \over 4a} - \left( {{\sqrt{p +2t_1} -\sqrt{  -3p - 2{t_1}   -{2q \over {\sqrt{p +2t_1}}}}  } \over {2a} } \right)      </math>

==중첩근호와 일반식==
무한한 중첩근호는 일반식으로 표현될 수 있다.
:<math>\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1...}}}}}={{\sqrt{5}+1}\over{2}}=\varphi</math> [[황금비]]
:<math>\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2...}}}}}={{\sqrt{9}+1}\over{2}}=2</math>
:<math>\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3+\sqrt{3...}}}}}={{\sqrt{13}+1}\over{2}} </math>
:<math>\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4+\sqrt{4...}}}}}={{\sqrt{17}+1}\over{2}}</math>
:<math>\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5...}}}}}={{\sqrt{21}+1}\over{2}}</math>
:<math>\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6...}}}}}={{\sqrt{25}+1}\over{2}}</math>
:<math>\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7+\sqrt{7...}}}}}={{\sqrt{29}+1}\over{2}}</math>
:<math>\sqrt{8+\sqrt{8+\sqrt{8+\sqrt{8+\sqrt{8...}}}}}={{\sqrt{33}+1}\over{2}}</math>

따라서 이것을 일반화하면,
:<math>\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n...}}}}}={{\sqrt{((4\cdot n )+1)}+1}\over{2}}</math>
한편,
:<math>x^2-x-1=0</math>을 예약해보면
:<math>{{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}\over{2a}}</math>  ([[근의 공식]])
:<math>{{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot1\cdot(-1)}}\over{2}}</math>
:<math>{{1\pm\sqrt{1+4}}\over{2}}</math>
:<math>{{1\pm\sqrt{5}}\over{2}}</math>
이고,
따라서,
:<math>\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c+\sqrt{c...}}}}}</math>
:<math>={{\sqrt{((4\cdot c )+1)}+1}\over{2}}</math>
:<math>x^2-x-c=0</math>이다.

==루트와 중첩근호 ==
:<math>\sqrt{1}= \sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\sqrt[3]{1\dots}}}}}}}}</math>
:<math>\sqrt{2}= \sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2\dots}}}}}}}}</math>
:<math>\sqrt{3}= \sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\sqrt[3]{3\dots}}}}}}}}</math>
:<math>\qquad\qquad\qquad \vdots</math>
:<math>\sqrt{7}= \sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\sqrt[3]{7\dots}}}}}}}}</math>
:<math>\sqrt{8}= \sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\sqrt[3]{8\dots}}}}}}}}</math>
:<math>\qquad\qquad\qquad\vdots</math>
따라서 이것을 일반화 하면,
:<math>\sqrt{x}= \sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\sqrt[3]{x\dots}}}}</math>
그리고 이것을 확장하면,<ref>J. R. Fielding, pers. comm., Oct. 8, 2002</ref>
:<math>x^{{1}\over{(n-1)}}= \sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\sqrt[n]{x\dots}}}}</math>

==자연수와 중첩근호==
<!--
:<math>1= \sqrt[2]{1+\sqrt[2]{1+\sqrt[2]{1+\sqrt[2]{1+\sqrt[2]{1+\sqrt[2]{1+\sqrt[2]{1+\sqrt[2]{2+\dots}}}}}}}}=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\dots}}}}}}}}</math>
-->
:<math>2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\dots}}}}}}}}</math>
:<math>3 = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\dots}}}}}}}}</math>
:<math>4 = \sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12+\dots}}}}}}}}</math>
:<math>\qquad\qquad\qquad\vdots</math>
:<math>8 = \sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\sqrt{56+\dots}}}}}}}}</math>
:<math>\qquad\qquad\qquad\vdots</math>

따라서, 이것을 일반화하면,
<!-- 
:<math>n = \sqrt{(n \cdot (n-1))+\sqrt{(n \cdot (n-1))+\sqrt{(n \cdot (n-1))+\sqrt{(n \cdot (n-1))+\dots}}}}   \qquad  (n > 1, n =integer)</math>
-->
:<math>x = \sqrt{(x \cdot (x-1))+\sqrt{(x \cdot (x-1))+\sqrt{(x \cdot (x-1))+\sqrt{(x \cdot (x-1))+\dots}}}}   \qquad  (x > 1, x =integer)</math>
:<math>x = \sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\sqrt{(x^2-x)+\dots}}}}   </math>

한편, 이것을 일반식으로 표현하면,
:<math> \left({{x}}\right)^2 - \left({{x}}\right) </math>에서 <math>x </math>  이고,
:<math>\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n...}}}}}={{\sqrt{((4\cdot n )+1)}+1}\over{2}}</math>이므로,
:<math>x= \sqrt{\left({{x}}\right)^2 - \left({{x}}\right)+\sqrt{\left({{x}}\right)^2 - \left({{x}}\right)+\sqrt{\left({{x}}\right)^2 - \left({{x}}\right)+\sqrt{\left({{x}}\right)^2 - \left({{x}}\right)+\sqrt{\left({{x}}\right)^2 - \left({{x}}\right)...}}}}}</math>
:<math>={{\sqrt{\left(\left(4\cdot \left({{x}}^2 - {{x}}\right) \right)+1 \right)}+1}\over{2}}</math>
:<math>={{\sqrt{4x^2 - 4x +1}+1}\over{2}}</math>
:<math>={{\sqrt{(2x-1)^2}+1}\over{2}}</math>
:<math>={{(2x-1)+1}\over{2}}= x  </math>이다.<!-- 
따라서,
:<math>x={{\sqrt{4x^2 - 4x +1}+1}\over{2}}</math>
:<math>x={{\sqrt{x^2 - x +{{1}\over{4}}}+1}\over{2}}</math>
:<math>x={{\sqrt{\left( x-{{1}\over{2}} \right)^2 }+1}\over{2}}</math>
-->

==[[라마누잔]]의 중첩근호 공식<ref>Ramanujan 1911, Ramanujan 2000, p. 323; Pickover 2002, p. 310</ref>==

:<math>{x+n+a} = \sqrt{ax+(n+a)^2+x\sqrt{a(x+1n)+(n+a)^2+ (x+1n)\sqrt{a(x+2n)+(n+a)^2+(x+2n)\sqrt{a(x+3n)+(n+a)^2+(x+3n)\sqrt{\cdots}}}}}</math>
:<math>a=0 , n=1</math>일때,
:<math>x+1= \sqrt{1+x\sqrt{1+(x+1)\sqrt{1+(x+2)\sqrt{1+ \cdots} } } }</math>
:<math>3=2+1 =\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+5\sqrt{1+6\sqrt{1+   \cdots} }}} } }</math>

== 같이 보기 ==
* [[제곱근|제곱근의 연산]]

==참고==
* [http://mathworld.wolfram.com/NestedRadical.html 매스월드]
*(Ramanujan 1911)Ramanujan, S. Question No. 298. J. Indian Math. Soc. 1911.
*(Ramanujan 2000)Ramanujan, S. Collected Papers of Srinivasa Ramanujan (Ed. G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar, and B. M. Wilson). Providence, RI: Amer. Math. Soc., p. 327, 2000.

== 각주 ==
{{각주}}

[[분류:대수학]]