다발 제르브 문서 원본 보기

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[[미분기하학]]에서 '''다발 제르브'''({{llang|en|bundle gerbe}})는 [[선다발]]을 일반화시킨 개념이다.

== 정의 ==
U(1) [[주다발]]은 다음과 같이 간주될 수 있다.
* U(1) 주다발은 (정수 계수) 2차 [[코호몰로지류]]이다. (즉, 주다발은 그 [[천 특성류]]에 의하여 분류된다.)
* U(1) 주다발은 어떤 [[열린 덮개]]에 대하여, 각 조각 위에 주어진 <math>\operatorname U(1) = \{z\in\mathbb C\colon |z|=1\}</math> 인자들로 구성된다. 이 경우, 각 <math>\operatorname U(1)</math>들은 '''전이 함수'''들로 짜깁기되며, 이들은 '''공사슬 조건'''을 만족시켜야 한다.
* U(1) 주다발은 [[주다발]]의 일종이다. 즉, <math>\operatorname U(1)</math> 구조를 갖는 [[전사 함수|전사]] [[연속 함수]]이다.
이 세 정의들을 각각 다음과 같이 일반화시킬 수 있으며, 이들은 서로 [[동치]]이다.

각 정의에서, 다음이 주어졌다고 하자.
* [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>
* 자연수 <math>p\in\mathbb N</math>.
그렇다면, <math>M</math> 위의 '''<math>(p-2)</math>-다발 제르브'''의 개념을 정의할 수 있다. 0-다발 제르브는 U(1) 선다발과 같다.

=== 코호몰로지류를 통한 정의 ===
<math>M</math> 위의 <math>(p-2)</math>-다발 제르브는 (정수 계수) <math>p</math>차 [[코호몰로지 군]]의 원소
:<math>\alpha\in\operatorname H^p(M;\mathbb Z)</math>
이다.

=== 열린 덮개를 통한 정의 ===
<math>M</math> 위의 <math>(p-2)</math>차 '''히친-채터지 제르브'''({{llang|en|Hitchin–Chatterjee gerbe}})는 다음과 같은 데이터로 주어진다.<ref name="Hitchin">{{저널 인용|제목=What is a … gerbe?|이름=Nigel|성=Hitchin|저자링크=나이절 히친|저널=Notices of the American Mathematical Society|url=http://www.ams.org/notices/200302/what-is.pdf|날짜=2003-02|언어=en}}</ref>{{rp|218}}
* <math>M</math>의 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>. 여기서 <math>U_{ijk\cdots}=U_i\cap U_j\cap U_k\cap\cdots</math>로 표기하자.
* 모든 <math>\vec\imath=i_1,i_2,\dotsc,i_p\in I</math>에 대하여, '''전이 함수'''({{llang|en|transition map}}) <math>\phi_{\vec\imath}\colon U_{\vec\imath}\to\operatorname U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}</math>
이들은 다음 두 조건을 만족하여야 한다.
* 임의의 [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(p)</math>에 대하여,
*:<math>\phi_{\sigma(\vec\imath)} = \begin{cases}
\phi_{\vec\imath} & (-)^\sigma = +1 \\
\phi_{\vec\imath}^{-1} & (-)^\sigma = -1
\end{cases}</math>
* ('''공사슬 조건''' {{llang|en|cocycle condition}}) 임의의 <math>i_0,i_1,\dotsc,i_p \in I</math> 및 <math>x\in U_{i_0,\dotsc,i_p}</math>에 대하여,
*:<math>1 = \phi_{i_0\dotso i_{p-1}}(x) \cdot \phi_{i_1\dotso i_p }(x) \cdot \dotsb \cdot \phi_{i_pi_1\dotso i_{p-2}}(x)</math>

이 정의에서, <math>p=2</math>을 잡으면 U(1) 선다발의 정의를 얻는다. 즉, [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>위의 U(1) 선다발은 다음과 같은 데이터로 정의된다.
* <math>M</math>의 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>
* 모든 <math>i,j\in I</math>에 대하여, 전이 함수 <math>\phi_{ij}\colon U_{ij}\to U(1)=\{z\in\mathbb C\colon|z|=1\}</math>
이들은 다음 두 조건을 만족시켜야 한다. 모든 <math>i,j,k\in I</math>에 대하여,
* <math>\phi_{ji}=\phi_{ij}^{-1}</math>
* ('''공사슬 조건''') <math>\phi_{ij}\phi_{jk}\phi_{ki}|_{U_{ijk}}=1</math>
물론, 선다발의 [[동치]]를 적절히 정의하여야 한다.

위 정의는 [[나이절 히친]]과 데이비드 소미트라 채터지({{llang|en|David Saumitra Chatterjee}}, {{llang|bn|সৌমিত্র চ্যাটার্জী}})가 사용한 정의다. 마이클 머리가 사용한 정의는 더 일반적이며, 히친이 정의한 제르브는 머리가 정의한 '''국소 다발 제르브'''({{llang|en|local bundle gerbe}})에 대응한다.<ref name="Murray07">{{서적 인용|arxiv=0712.1651|이름=Michael K.|성=Murray|장=An introduction to bundle gerbes|bibcode=2007arXiv0712.1651M|doi=10.1093/acprof:oso/9780199534920.003.0012|제목=The many facets of geometry: a tribute to Nigel Hitchin|출판사=Oxford University Press|isbn=978-0-19953492-0|날짜=2010|mr=2681698|쪽=237–260|언어=en}}</ref>

=== 다발을 통한 정의 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 '''다발 제르브'''는 다음과 같은 데이터로 주어진다.<ref name="Murray07"/>{{rp|Definition 4.1}}
* 전사 함수 <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* U(1) [[주다발]] <math>L \twoheadrightarrow E\times_ME</math>.
* U(1) [[주다발]]의 [[동형 사상]] <math>\mu \colon \pi_{12}^* L \otimes \pi_{23}^*L  \to \pi_{13}^* L</math>. 여기서 <math>\pi_{12},\pi_{23},\pi_{13} \colon E\times_ME\times_M E\to E\times_ME</math>는 성분별 사영 사상이다.
:<math>
\begin{matrix}
E \times_M E \times_M E \\
\scriptstyle{\pi_{12}}\downarrow\; \scriptstyle{\color{White}\pi_{23}}\downarrow\scriptstyle{\pi_{23}} \;\downarrow \scriptstyle{\pi_{13}}\\
E\times_M E \\
\scriptstyle{\pi_1}\downarrow\quad\downarrow \scriptstyle{\pi_2}\\
E \\
\downarrow \\
M
\end{matrix}</math>
이 데이터는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
* ([[결합 법칙]]) <math>\mu \circ \mu_{123} = \mu \circ\mu_{234}</math>. 여기서 <math>\mu_{123}, \mu_{234} \colon E\times_ME\times_ME\times_ME\to E\times_ME\times_ME</math>는 (1,2,3) 또는 (2,3,4)번째 성분에 <math>\mu</math>를 작용시킨 것이다.

=== 접속 ===
U(1) 주다발을 나타내는 0차 히친-채터지 제르브 <math>(U_i,\phi_{ij})_{i,j\in I}</math> 위의 [[주접속]]은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>A_i\in \Omega^1(U_i;\mathbb R)</math>
* <math>\alpha_{ij} \in \Omega^0(U_{ij};\mathbb R)</math>
이들은 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.
:<math>A_j(x)-A_i(x) = -\mathrm i\,\mathrm d\ln\phi_{ij}(x)\qquad(x\in U_{ij})</math>
이 경우, <math>\mathrm dA_i</math>를 이어붙여 <math>F=\mathrm dA_i</math>를 정의할 수 있으며, <math>[F]/2\pi</math>는 U(1) 주다발의 [[천 특성류]]와 같다.
:<math>[F]/2\pi = \operatorname c_1(L)</math>

마찬가지로, 1차 히친-채터지 제르브 <math>(U_i,\phi_{ijk})_{i,j,k\in I}</math>위의 '''접속'''은 다음과 같은 데이터로 주어진다.
* <math>B_i \in \Omega^2(U_i;\mathbb R)</math>
* <math>A_{ij} \in \Omega^1(U_{ij};\mathbb R)</math>
이들은 다음 호환 조건을 만족시켜야 한다.<ref name="Hitchin"/>{{rp|219}}
:<math>B_j(x) - B_i(x) = \mathrm dA_{ij}(x)\qquad(x\in U_{ij})</math>
:<math>A_{ij}(x) + A_{jk}(x) + A_{ki}(x) = -\mathrm i\,\mathrm d\ln\phi_{ijk}(x)\qquad(x\in U_{ijk})</math>
이 경우, <math>\mathrm dA_i</math>들을 이어붙여
:<math>F\in\Omega^2(M;\mathbb R)</math>
:<math>F(x)=\mathrm dA_i(x)\qquad(x\in U_i)</math>
를 정의할 수 있으며, 또한 그 [[코호몰로지류]] <math>[F]/2\mathrm\pi\in\operatorname H^3(M;\mathbb R)</math>가 정수 계수인 것을 보일 수 있다.

보다 일반적으로,  <math>(p-2)</math>차 히친-채터지 제르브의 경우, 각 <Math>U_i</math> 위에는 <math>(p-1)</math>차 히친-채터지 제르브의 접속이 주어져 있다. <math>-1</math>차 히친-채터지 제르브의 접속 구조는 전이 함수 <math>\phi_i\colon U_i\to\operatorname U(1)</math>의 [[자연 로그]] <math>-\mathrm i\ln\phi_i</math>이다.

== 예 ==
=== 0-제르브 ===
[[매끄러운 다양체]] <math>M</math> 위의 0-다발 제르브는 단순히 U(1) [[주다발]]이다. 이 경우 2차 정수 코호몰로지와의 대응 사상은 1차 [[천 특성류]]에 의해 주어진다.

=== &minus;1-제르브 ===
(&minus;1)-다발 제르브는 함수 <math>M\to\mathbb S^1</math>들의 [[호모토피류]] <math>[f]\in[M,S^1]</math>이다.<ref name="Murray07"/>{{rp|Example 2.2}} <math>\mathbb S^1</math>은 [[이산군]] <math>\mathbb Z</math>의 [[분류 공간]]이므로, 이는 <math>\mathbb Z</math> [[주다발]]과 대응한다.

즉, 구체적으로 이는 각 열린 덮개 <math>(U_i)_{i\in I}</math>에 대하여, 임의의 두 <math>i,j\in I</math>에 대하여 “전이 함수”인 정수 
:<math>n_{ij}\in\mathbb Z</math>
에 의하여 명시되며, 이는
:<math>n_{ji} = -n_{ij}</math>
:<math>n_{ij} + n_{jk} + n_{ki} = 0</math>
을 만족시켜야 한다.

또한, <math>p=1</math>을 잡으면
* <math>M</math>의 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>
* 전이 함수 <math>\phi_i \colon U_i \to \operatorname U(1)</math>
* (공사슬 조건) 임의의 <math>i,j \in I</math> 및 <math>x\in U_i \cap U_j</math>에 대하여,
*:<math>1 = \phi_i(x) \phi_j(x)</math>
즉, 만약 <math>i=j</math>일 경우 <math>\phi_i=1</math>이 된다. 이에 따라, 

매끄러운 다양체 <math>M</math> 위:
* 전사 함수 <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* U(1) [[주다발]] <math>L \twoheadrightarrow \bullet</math>
* U(1) [[주다발]]의 [[동형 사상]] <math>\mu \colon \pi_{12}^* L \otimes \pi_{23}^*  \to \pi_{13}^* L</math>. 여기서 <math>\pi_{12},\pi_{23},\pi_{13} \colon \bullet \to ??</math>는 성분별 사영 사상이다.

=== &minus;2-제르브 ===
(&minus;2)-다발 제르브는 [[연속 함수]] <math>M\to\mathbb Z</math>이다.<ref name="Murray07"/>{{rp|Example 2.1}}

=== 리 군 위의 제르브 ===
[[콤팩트 공간|콤팩트]] [[연결 공간|연결]] [[단일 연결]] [[단순 리 군]] <math>G</math> 위에는 자연스러운 1-제르브가 정의되어 있다.<ref>{{저널 인용|arxiv=0710.5467|bibcode=2007arXiv0710.5467S|제목=Gerbes and Lie Groups|성=Schweigert|이름=Christoph|공저자=Konrad Waldorf|doi=10.1007/978-0-8176-4741-4_10}}</ref> 이 경우 항상 <math>H^3(G)\cong\mathbb Z</math>이고, 이 대응 사상을 '''디미에-두아디 사상'''({{llang|en|Dixmier–Douady map}})이라고 한다. 이러한 리 군 <math>G</math>는 디스미에-두아디 사상이 1인 코호몰로지류 <math>B_0\in H^3(G)</math>에 대응하는 다발 제르브를 갖춘다. 3차 코호몰로지류로서, 이는 그 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>의 구조 상수(structure constant)
:<math>f\colon \Lambda^3\mathfrak g</math>
의 [[드람 코호몰로지]]에 의하여 주어진다. 이러한 1-제르브는 [[베스-추미노-위튼 모형]]을 다룰 때 등장하며, [[끈 이론]]의 [[캘브-라몽 장]]에 해당한다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/0205233|doi=10.1142/S0129055X02001557|bibcode=2002RvMaP..14.1281G|제목=WZW branes and gerbes|날짜=2002|저널=Reviews in Mathematical Physics|권=14|호=12|쪽=1281–1334|언어=en}}</ref>

=== 3차원 초구 위의 제르브 ===
[[구]]를 남반구와 북반구에 해당하는 [[열린 덮개]]로 덮으면, 적도 근방의 겹침 부분에 정의되는 전이 함수
:<math>\mathbb S^1 \times(-\epsilon,\epsilon) \to \operatorname U(1)</math>
를 통해 구 위의 [[U(1)]] [[주다발]]을 정의할 수 있다. 이러한 전이 함수는 정수인 [[감음수]]로 분류되며, 이 정수는 U(1) 주다발의 (1차) [[천 특성류]](의 적분)에 해당한다 (<math>\operatorname H^2(\mathbb S^2)\cong\mathbb Z</math>).

마찬가지로, [[3차원 초구]]를 북반구와 남반구에 해당하는 [[열린 덮개]]로 덮으면, 적도 근방의 겹침 부분 위에 정의되는 전이 U(1) 주다발
:<Math>\operatorname U(1) \hookrightarrow \mathbb S^2 \times (-\epsilon,\epsilon)</math>
을 통해 [[3차원 초구]] 위의 다발 제르브를 정의할 수 있다. 이러한 전이 U(1) 주다발은 [[천 특성류]]의 적분인 정수로 분류되며, 이 정수는 다발 제르브의 디스미에-두아티 코호몰로지류에 해당한다 (<math>\operatorname H^3(\mathbb S^3) \cong \mathbb Z</math>).<ref name="Murray07"/>{{rp|Example 4.2}}

== 응용 ==
제르브는 [[미분형식 전기역학]]을 다룰 때 등장한다. 1차 미분형식 전기역학인 [[양-밀스 이론]]([[맥스웰 방정식]])을 다룰 때 [[주다발]]을 사용하는 것처럼, 고차 미분형식 전기역학을 다룰 때는 제르브를 사용하게 된다. 즉, 게이지장은 제르브의 접속을 이루고, 게이지 장세기는 제르브 접속의 [[곡률]]이다.

특히, [[끈 이론]]에서 등장하는 [[캘브-라몽 장]]은 제르브로 나타내어진다.<ref>{{저널 인용|arxiv=hep-th/9907189|제목=Anomalies in string theory with D-branes|이름=Daniel S.|성=Freed|저자링크2=에드워드 위튼|이름2=Edward|성2=Witten|bibcode=1999hep.th....7189F|저널=Asian Journal of Mathematics|권=3|쪽=819|날짜=1999|언어=en}}</ref>

== 역사 ==
[[제르브]]의 일반적인 개념은 [[알렉산더 그로텐디크]]의 아이디어들을 발전시켜 장 지로({{llang|fr|Jean Giraud}}, 1936~2007)가 도입하였다.<ref>{{서적 인용 
  | last = Giraud
  | first = Jean
  | title = Cohomologie non abélienne
  | publisher = Springer-Verlag
  | year = 1971
  | isbn = 3-540-05307-7
  | zbl =  0226.14011
  | mr = 0344253
  | 총서 =  Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
  | 권 = 179
  | 언어 = fr
 }}</ref> 지로가 지은 이름 "{{llang|fr|gerbe|제르브}}"는 [[짚단]]을 뜻한다. 이후 장뤼크 브릴린스키({{llang|fr|Jean-Luc Brylinski}}, 1951~)가 제르브를 더 기하학적인 기법으로 정의하였다.<ref>{{서적 인용 
  | last = Brylinski
  | first = Jean-Luc
  | title = Loop space, characteristic classes and geometric quantization
  | publisher = Birkhäuser
  | year = 1993
  | isbn = 978-0-8176-3644-9
  | doi = 10.1007/978-0-8176-4731-5
  | 총서= Progress in Mathematics | 권 = 107 | issn = 0743-1643
  | mr = 1197353
  | 언어=en
 }}</ref> 다발 제르브는 마이클 머리({{llang|en|Michael K. Murray}})가 도입하였다.<ref>{{저널 인용|제목=Bundle gerbes|이름=Michael K.|성=Murray|arxiv=dg-ga/9407015|bibcode=1994dg.ga.....7015M|doi=10.1112/jlms/54.2.403|저널=Journal of the London Mathematical Society|날짜=1996-10|권=54|호=2|쪽=403–416|언어=en}}</ref>

== 같이 보기 ==
* [[제르브]]
* [[오비폴드]]
== 각주 ==
{{각주}}
* {{저널 인용|이름=Nigel|성=Hitchin|저자링크=나이절 히친|제목=Lectures on special Lagrangian submanifolds|bibcode=1999math......7034H|arxiv=math/9907034|날짜=1999|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Daniel|성=Stevenson|제목=The geometry of bundle gerbes|기타=박사 학위 논문|arxiv=math/0004117|출판사=[[애들레이드 대학교]]|날짜=2000|언어=en}}
* {{서적 인용|이름=Stuart|성=Johnson|제목=Constructions with bundle gerbes|arxiv=math/0312175|기타=박사 학위 논문|출판사=[[애들레이드 대학교]]|날짜=2003|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=math/0106083|제목=Differential geometry of gerbes|이름=Lawrence|성=Breen|이름2=William|성2=Messing|bibcode=2001math......6083B|날짜=2001|언어=en}}
* {{저널 인용|arxiv=hep-th/0312154|제목= Nonabelian bundle gerbes, their differential geometry and gauge theory|이름=Paolo|성=Aschieri|이름2=Luigi |성2=Cantini|이름3=Branislav|성3=Jurčo|doi=10.1007/s00220-004-1220-6|bibcode=2005CMaPh.254..367A|저널=Communications in Mathematical Physics|날짜=2005-03|권=254|호=2|쪽=367–400|언어=en|issn=0010-3616}}
* {{저널 인용|arxiv=0808.1923|제목=Connections on non-abelian gerbes and their holonomy|이름=Urs|성=Schreiber|이름2=Konrad|성2=Waldorf|bibcode=2008arXiv0808.1923S|날짜=2008|언어=en}}

== 외부 링크 ==
* {{nlab|id=bundle gerbe|title=Bundle gerbe}}
* {{nlab|id=connection on a 2-bundle|title=Connection on a 2-bundle}}
* {{nlab|id=principal 2-bundle|title=Principal 2-bundle}}
* {{nlab|id=nonabelian bundle gerbe |title=Nonabelian bundle gerbe }}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2006/10/bundle_gerbes.html | 제목=Bundle gerbes: connections and surface transport | 이름=Urs | 성=Schreiber | 웹사이트=The ''n''-Category Café | 날짜=2006-10-13 | 언어=en}}
* {{웹 인용|url=https://golem.ph.utexas.edu/category/2006/10/bundle_gerbes_connections_and.html | 제목=Bundle gerbes: connections and surface transport | 이름=Urs | 성=Schreiber | 웹사이트=The ''n''-Category Café | 날짜=2006-10-13 | 언어=en}}

{{전거 통제}}

[[분류:대수기하학]]
[[분류:올다발]]